べき乗法

数学 > 数値解析 > 数値線形代数 > 固有値問題の数値解法 > べき乗法

べき乗法（べきじょうほう）とはある$n\times n$行列の固有値のうち、絶対値最大のものを求める手法の総称であり、いくつかのバリエーションがある。累乗法とも呼ばれる。

典型的には、与えられた$n\times n$行列$\mathbf {A}$に対して、適当な初期ベクトル$\mathbf {x} ^{(0)}$から始めて、逐次

$\mathbf {x} ^{(k)}=\mathbf {A} \mathbf {x} ^{(k-1)}$

を計算することで、$\mathbf {x} ^{(k)}$が$\mathbf {A}$の絶対値最大の固有値$\lambda _{1}$に属する固有ベクトルの方向に漸近していくことを利用し、

$\lim _{k\to \infty }{\dfrac {\mathbf {x} ^{(k){\rm {T}}}\mathbf {x} ^{(k)}}{\mathbf {x} ^{(k){\rm {T}}}\mathbf {x} ^{(k-1)}}}=\lambda _{1}$

により絶対値最大の固有値を得る。ただしベクトル列$\{\mathbf {x} ^{(k)}\}$が定ベクトルに収束していくわけではないことに注意する。

また、べき乗法に類似した、絶対値最小の固有値を求める方法として逆べき乗法がある。

収束の証明

簡単のため、$n\times n$行列$\mathbf {A}$の固有値$\lambda _{i}(i=1,2,\cdots ,n)$がすべて互いに異なり

$\mid \lambda _{1}\mid >\mid \lambda _{2}\mid >\cdots >\mid \lambda _{n}\mid$

であるとする。ここで、$\lambda _{i}$に属する$\mathbf {A}$の固有ベクトルを$\mathbf {u} _{i}$とすると、$\mathbf {u} _{i}$は

$\mathbf {A} \mathbf {u} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {u} _{i}$

をみたす。また、$\mathbf {u} _{i}$は互いに1次独立なので、初期ベクトル$\mathbf {x} ^{(0)}$はこれらの1次結合により

$\mathbf {x} ^{(0)}=c_{1}\mathbf {u} _{1}+c_{2}\mathbf {u} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {u} _{n}$

と表すことができる。ここで、$c_{1}\neq 0$とすれば、$\mathbf {x} ^{(k)}$は以下のように表される。

$\mathbf {x} ^{(k)}=\mathbf {A} ^{k}\mathbf {x} ^{(0)}=c_{1}{\lambda _{1}}^{k}\mathbf {u} _{1}+c_{2}{\lambda _{2}}^{k}\mathbf {u} _{2}+\cdots +c_{n}{\lambda _{n}}^{k}\mathbf {u} _{n}=c_{1}{\lambda _{1}}^{k}{\biggl \{}\mathbf {u} _{1}+{\dfrac {c_{2}}{c_{1}}}\left({\dfrac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{k}\mathbf {u} _{2}+\cdots +{\dfrac {c_{n}}{c_{1}}}\left({\dfrac {\lambda _{n}}{\lambda _{1}}}\right)^{k}\mathbf {u} _{n}{\biggr \}}$

仮定より$\mid \lambda _{l}/\lambda _{1}\mid <1\left(l\neq 1\right)$なので、$k\rightarrow \infty$のとき$\mathbf {x} ^{(k)}$は絶対値最大の固有値$\lambda _{1}$に属する固有ベクトル$\mathbf {u} _{1}$と同じ方向$c_{1}{\lambda _{1}}^{k}\mathbf {u} _{1}$に近づいていく。

絶対値最大の固有値$\lambda _{1}$を求めるときは、

$\mathbf {x} ^{(k-1)}=c_{1}{\lambda _{1}}^{k-1}{\biggl \{}\mathbf {u} _{1}+{\dfrac {c_{2}}{c_{1}}}\left({\dfrac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{k-1}\mathbf {u} _{2}+\cdots +{\dfrac {c_{n}}{c_{1}}}\left({\dfrac {\lambda _{n}}{\lambda _{1}}}\right)^{k-1}\mathbf {u} _{n}{\biggr \}}$

より、

$\lim _{k\to \infty }{\dfrac {\mathbf {x} ^{(k){\rm {T}}}\mathbf {x} ^{(k)}}{\mathbf {x} ^{(k){\rm {T}}}\mathbf {x} ^{(k-1)}}}=\lambda _{1}$

となることを利用する。

行列$\mathbf {A}$の固有値が重複を持ち更に対角化可能でない場合も、ジョルダン標準形を考えれば同様の考え方で証明できる。

欠点

最大固有値と、その次に大きい固有値の差が小さすぎる場合、収束が極めて遅くなる。

参考文献

• 森正武『数値解析』共立出版、2002年2月。ISBN 4-320-01701-3。 

関連項目

• 固有値問題
• 逆べき乗法