ゆらぎの定理

ゆらぎの定理（ゆらぎのていり、英: Fluctuation Theorem, FT）とは、ある過程の実現確率と、その逆過程の実現確率との間に、対称性が存在することを示した定理である。

ゆらぎの定理は、平衡近傍に適用すると相反定理、揺動散逸定理、線形応答理論が導かれ、等温系で適用するとJarzynski等式を導くことが出来る。ゆらぎの定理は、線形応答の関係を、非線形な領域にまで拡張したものとも見ることができる。それまで有意味な関係式があると思われてこなかったような領域において発見された関係式であり、そのため発見された90年代以降、ゆらぎの定理に関係した研究は活発に行われている。

内容編集

ある操作（例えばピストンを引いて始状態から終状態に変化させる）におけるエントロピー生成率を $\sigma (t)$ 、その逆操作（終状態からピストンを押して始状態にする）におけるエントロピー生成率を $\sigma ^{\dagger }(t)$ とする。また、エントロピー生成の時間平均を ${\bar {\sigma }}(t)\equiv (1/t)\int _{0}^{t}\sigma (s)ds$ と書くことにする。 $\sigma (t)$ を $(A,A+dA)$ の範囲に見出す確率を $P({\bar {\sigma }}(t)=A)$ とし、 $\sigma ^{\dagger }(t)$ を $(-A,-A-dA)$ の範囲に見出す確率を $P({\bar {\sigma }}^{\dagger }(t)=-A)$ とする。

このとき、ゆらぎの定理は以下で表される。

{\frac {P({\bar {\sigma }}(t)=A)}{P({\bar {\sigma }}^{\dagger }(t)=-A)}}=e^{At}

歴史編集

ゆらぎの定理は、1993年にエヴァンス、コーエン、モリスによって、Nose-Hoover熱浴のシミュレーションにおいて発見された^[1]。当時はNose-Hoover熱浴特有の性質と思われていたが、1998年にKurchanによってランジュバン方程式に従う系に^[2]、2000年にJarzynskiによって一般のハミルトン系に^[3]対して証明がなされ、極めて一般的に成り立つ定理であることが分かった。