アラン分散

アラン分散（Allan variance）は、時計、発振器、アンプにおける周波数安定度を表す指標である。名前はDavid W. Allanに由来し、数学的には$\sigma _{y}^{2}(\tau )$ と表される。 アラン偏差（Allan deviation）は、アラン分散の平方根である$\sigma _{y}(\tau )$ である。

ある時計をリファレンスの時計と比較するとする。リファレンスの時計がτ進む間に、時計がyτ進むとする。ここでyは時計の相対的な周波数の平均値である。図のように、二つの連続した期間の測定をすることで、(y − y′)²が得られる。この値が小さいほどこの時計が安定である。これを繰り返し、(y − y′)²の平均値を得ると、それが平均化時間τのアラン分散の2倍となる。

アラン分散は統計的な安定度を推定するためのものであり、周波数ドリフトなどの系統的な誤差を推定するものではない。また、アラン分散には、修正アラン分散をはじめとするいくつかの派生形がある。

時計のアラン偏差の例。平均化時間τが小さい時は、τが増えるにつれてノイズがならされ、アラン偏差が減少している。さらにτを増加させると、アラン偏差は増加に転じる。これは時計の周波数がドリフトしていることを示している。

背景

水晶発振器や原子時計の安定性が調べられていた頃、位相ノイズにはホワイトノイズのみならず、フリッカー周波数ノイズも存在しているとわかった。これらのノイズの形は、推定値が収束しないため、標準偏差などの伝統的な統計ツールでは扱いが難しい。安定性を分析する初期の取り組みは、理論的な分析と実用的な測定の両方から行われた。

この問題を解決するため、David AllanはM-サンプル分散を導入し、間接的にアラン分散（2-サンプル分散）を導入した。アラン分散では、全ての種類のノイズを見分けることはできないが、有意義な情報が得られる。IEEEはのちに、M-サンプル分散よりもアラン分散（2-サンプル分散）の方が望ましいとみなした。

定義

振動と位相ノイズ

振動は以下の式で表される。

$V(t)=V_{0}\sin(\Phi (t)).$

位相は以下のように表される。

$\Phi (t)=\omega _{\text{n}}t+\varphi (t)=2\pi \nu _{\text{n}}t+\varphi (t).$

$\nu _{\text{n}}$は基準となる周波数を表し、$\varphi (t)$は位相ノイズを表す。

周波数

瞬間的な周波数は、位相の時間微分で表される。

$\nu (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\Phi (t)}{dt}}.$

規格化された周波数偏差

瞬間的な周波数の、基準となる周波数からの偏差を規格化して、以下の量を定義する。

$y(t)={\frac {\nu (t)-\nu _{\text{n}}}{\nu _{\text{n}}}}={\frac {\nu (t)}{\nu _{\text{n}}}}-1.$

規格化された周波数偏差の時間平均

規格化された周波数偏差の時間平均は以下のように定義される。

${\bar {y}}(t,\tau )={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }y(t+t_{v})\,dt_{v},$

ここでτは平均化時間を表す。

アラン分散

n番目の周波数偏差を以下のように表すとする。

${\bar {y}}_{n}={\bar {y}}(n\tau ,\tau )$

アラン分散は以下のように定義される。

$\sigma _{y}^{2}(\tau )={\frac {1}{2}}\left\langle \left({\bar {y}}_{n+1}-{\bar {y}}_{n}\right)^{2}\right\rangle$

ただし、$\langle \dotsm \rangle$は期待値を表す。

アラン偏差

標準偏差と分散の関係と同様に、アラン偏差はアラン分散の平方根として定義される。

$\sigma _{y}(\tau )={\sqrt {\sigma _{y}^{2}(\tau )}}.$

べき乗ノイズ

アラン分散は、さまざまなべき乗ノイズを見分けることができる。

べき乗ノイズに対するアラン分散

変調の種類	パワースペクトル密度（位相ノイズ） $S_{x}(f)$	パワースペクトル密度（周波数ノイズ） $S_{y}(f)$	アラン分散 $\sigma _{y}^{2}(\tau )$
白色位相変調	${\frac {1}{(2\pi )^{2}}}h_{2}f^{0}$	$h_{2}f^{2}$	${\frac {3f_{H}}{4\pi ^{2}}}h_{2}\tau ^{-2}$
フリッカー位相変調	${\frac {1}{(2\pi )^{2}}}h_{1}f^{-1}$	$h_{1}f^{1}$	${\frac {3[\gamma +\ln(2\pi f_{H}\tau )]-\ln 2}{4\pi ^{2}}}h_{1}\tau ^{-2}$
白色周波数変調	${\frac {1}{(2\pi )^{2}}}h_{0}f^{-2}$	$h_{0}f^{0}$	${\frac {1}{2}}h_{0}\tau ^{-1}$
フリッカー周波数変調	${\frac {1}{(2\pi )^{2}}}h_{-1}f^{-3}$	$h_{-1}f^{-1}$	$2\ln(2)h_{-1}\tau ^{0}$
ランダムウォーク周波数変調	${\frac {1}{(2\pi )^{2}}}h_{-2}f^{-4}$	$h_{-2}f^{-2}$	${\frac {2\pi ^{2}}{3}}h_{-2}\tau ^{1}$

アラン分散は、白色位相ノイズとフリッカー位相ノイズを見分けることができない。一方で、修正アラン分散ではこれらを見分けることができる。

線形応答

アラン分散は、位相や周波数に乗るノイズを見分けるためのものである。一方で、位相や周波数の線形な変化に対して依存性を示すことがある。

アラン分散の線形応答

Linear effect	時間応答	周波数応答	アラン分散
位相のオフセット	$x_{0}$	$0$	$0$
周波数のオフセット	$y_{0}t$	$y_{0}$	$0$
周波数の線形ドリフト	${\frac {Dt^{2}}{2}}$	$Dt$	${\frac {D^{2}\tau ^{2}}{2}}$

上の表より、アラン分散は、位相や周波数に定数のオフセットがついても変化しないが、周波数が線形に変化すると影響を受ける。

関連項目

• 分散
• 計量学