カッシーニの卵形線

カッシーニの卵形線（カッシーニのらんけいせん、英語: Cassinian oval）は、直交座標の方程式$(x^{2}+y^{2})^{2}-2b^{2}(x^{2}-y^{2})-(a^{4}-b^{4})=0$によって表される四次曲線である。

本文の式で

  $a=1,b=1$

  $a=1,b=1.2$

  $a=1,b=1.4$

  $a=1,b=1.6$

本文の式で

  $a=1,b=1$

  $a=1.1,b=1$

  $a=1.2,b=1$

  $a=1.3,b=1$

性質

x軸、y軸に対して線対称である。

• a < bのとき2つのまるいループに分かれる。

$({\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),(-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),({\sqrt {-a^{2}+b^{2}}},0),(-{\sqrt {-a^{2}+b^{2}}},0)$の4点でx軸と交わる。

• a = bのときレムニスケートとなる。

$({\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),(-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),(0,0)$の3点でx軸と交わる。

• a > bのとき1つのループからなる。

$({\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),(-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)$の2点でx軸と交わる。

軌跡

2つの定点(-b,0),(b,0)に対して、動点P(x,y)を考える。 2つの定点からPへのそれぞれ距離の積が$a^{2}$であるようなPの軌跡がカッシーニの卵形線になる。

すなわち${\sqrt {(x+b)^{2}+y^{2}}}{\sqrt {(x-b)^{2}+y^{2}}}=a^{2}$となり、この式の両辺を2乗してから変形すると、冒頭の定義式が得られる。

外部リンク

• Cassini Ovals -- from Wolfram MathWorld