カラツバ法

カラツバ法（カラツバほう）とは、主に多倍長乗算の乗算アルゴリズムにおいて、乗算の回数を4分の3にするアルゴリズムである。 加減算の回数は増加するが、乗算コストはそれより遥かに大きいため、結果として演算コストそのものもほぼ4分の3となる。 発見者のAnatolii Alexeevitch Karatsuba（Карацуба Анатолий Алексеевич）の名前を取ってKaratsuba法(Karatsuba-algorithm)、あるいは単にKaratsubaとも呼ばれる。

従来の乗算は$O(n^{2})$だったが、Karatsuba法の再帰的適用により、$O(n^{\log _{2}3})$（$\log _{2}3$≒1.585）まで計算コストが抑えられる。

アルゴリズム

単純な例として、被乗数$X$と乗数$Y$の積$Z$を求める($Z=X\times Y$)。 まず、被乗数$X$と乗数$Y$をそれぞれ上位・下位の2つに分割する。 分割の基数を$b$（例えば3桁ずつに分割するなら$b:=1000$）とすると、

$X:=x_{1}\cdot b+x_{0}$

$Y:=y_{1}\cdot b+y_{0}$

$Z:=z_{2}\cdot b^{2}+z_{1}\cdot b+z_{0}$

この乗算をKaratsuba以前の方法（Long multiplication）で行うと、乗算を4回行うことになる。

$z_{2}:=x_{1}\times y_{1}$

$z_{0}:=x_{0}\times y_{0}$

$z_{1}:=x_{1}\times y_{0}+x_{0}\times y_{1}$

Karatsubaの方法では、乗算を3回で済ませられる。

$z_{1}:=z_{2}+z_{0}-(x_{1}-x_{0})\times (y_{1}-y_{0})$

計算例

$X=32,463$ $(x_{1}:=32,x_{0}:=463)$、 $Y=38,030$ $(y_{1}:=38,y_{0}:=30)$、$b=1000$ とすると、

$z_{2}:=x_{1}y_{1}=1216$

$z_{0}:=x_{0}y_{0}=13890$

$z_{1}:=z_{2}+z_{0}-(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})=1216+13890-(-431)(8)=18554$

$Z=1216b^{2}+18554b+13890=1,216,000,000+18,554,000+13,890=1,234,567,890$

関連項目

• カラツバ法（1960年）
• en:Toom–Cook multiplication（1963年。カラツバ法はToom-2の特別な場合である）
• ショーンハーゲ・ストラッセン法（1971年。高速フーリエ変換/離散フーリエ変換を使う方法で、カラツバ法やToom-3より高速なアルゴリズムである）
• en:Fürer's algorithm（2007年。Schönhage–Strassenより高速）