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ガロア拡大

数学において、ガロア拡大（ガロアかくだい、英: Galois extension）は、体の代数拡大 E/F であって、正規拡大かつ分離拡大であるもののことである。あるいは同じことだが、E/F が代数拡大であって、自己同型群 Aut(E/F) による固定体（英語版）がちょうど基礎体 F であるもののことである。ガロア拡大は、ガロア群を持ち、ガロア理論の基本定理に従うという点で、重要である[1]。

エミール・アルティンの結果によって、ガロア拡大を次のように構成できる。E が与えられた体で、G が E の自己同型からなるある有限群で固定体が F のとき、E/F はガロア拡大である。

ガロア拡大の特徴づけ 編集

エミール・アルティンの重要な定理により、有限拡大 E/F に対し、以下の各ステートメントは E/F がガロア拡大であるというステートメントと同値である：

他の同値なステートメントとして以下がある：

  • F[x] の既約多項式で E に少なくとも 1 つの根をもつものはすべて E 上分解しかつ分離的である。
  • |Aut(E/F)| ≥ [E:F], つまり、自己同型の個数は拡大次数以上である。
  • F は Aut(E) の部分群の固定体である。
  • F は Aut(E/F) の固定体である。
  • E/F の部分体と Aut(E/F) の部分群の間には1対1の対応がある。

例 編集

ガロア拡大の例を構成する2つの基本的な方法がある。

  • 任意の体 E と Aut(E) の任意の部分群を取り、F を固定体とする。
  • 任意の体 F と F[x] の任意の分離多項式を取り、E をその分解体とする。

有理数体に、2の平方根を添加する（英語版）とガロア拡大を与えるが、2の立方根を添加すると非ガロア拡大を与える。標数 0 だからこれらの拡大はいずれも分離的である。前者は x2 − 2 の分解体である。後者は1の虚立方根を含む正規閉包を持ち、したがって分解体ではない。実は、恒等写像の他に自己同型を持たない。なぜならば、それは実数体に含まれているが、x3 − 2 は実根を1つしか持たないからである。より詳細な例は、ガロア理論の基本定理のページを参照のこと。

体 K に対し、K の代数閉包 K が K 上ガロア拡大であることと K が完全体であることは同値である。

脚注 編集

  1. ^ これらの用語の定義や例はガロア群の記事を参照。

参考文献 編集

  • Artin, Emil (1998). Galois Theory. Edited and with a supplemental chapter by Arthur N. Milgram. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 0-486-62342-4. MR1616156 
  • Bewersdorff, Jörg (2006). Galois theory for beginners. Student Mathematical Library. 35. Translated from the second German (2004) edition by David Kramer. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3817-2. MR2251389 
  • Edwards, Harold M. (1984). Galois Theory. Graduate Texts in Mathematics. 101. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90980-X. MR0743418  (Galois' original paper, with extensive background and commentary.)
  • Funkhouser, H. Gray (1930). “A short account of the history of symmetric functions of roots of equations”. American Mathematical Monthly (The American Mathematical Monthly, Vol. 37, No. 7) 37 (7): 357–365. doi:10.2307/2299273. JSTOR 2299273. 
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Galois theory”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Galois_theory 
  • Jacobson, Nathan (1985). Basic Algebra I (2nd ed.). W.H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9  (Chapter 4 gives an introduction to the field-theoretic approach to Galois theory.)
  • Janelidze, G.; Borceux, Francis (2001). Galois theories. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80309-0  (This book introduces the reader to the Galois theory of Grothendieck, and some generalisations, leading to Galois groupoids.)
  • Lang, Serge (1994). Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 110 (Second ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0853-2. ISBN 978-0-387-94225-4. MR1282723 
  • Postnikov, Mikhail Mikhaĭlovich (2004). Foundations of Galois Theory. With a foreword by P. J. Hilton. Reprint of the 1962 edition. Translated from the 1960 Russian original by Ann Swinfen. Dover Publications. ISBN 0-486-43518-0. MR2043554 
  • Rotman, Joseph (1998). Galois Theory (Second ed.). Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0617-0. ISBN 0-387-98541-7. MR1645586 
  • Völklein, Helmut (1996). Groups as Galois groups: an introduction. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 53. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511471117. ISBN 978-0-521-56280-5. MR1405612 
  • van der Waerden, Bartel Leendert (1931) (German). Moderne Algebra. Berlin: Springer . English translation (of 2nd revised edition): Modern algebra. New York: Frederick Ungar. (1949)  (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)
  • Pop, Florian (2001年). “(Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic”. 2016年1月6日閲覧。
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