シューア補行列
線型代数学関連分野におけるシューア補行列(シューアほぎょうれつ、英: Schur complement; シューア補元)は区分行列に対して定義される。名称はイサイ・シューアがシューアの補題の証明に用いたことに由来するが、それ以前からの使用が認められる[1]。これを Schur complement と呼び始めたのはエミリー・ヘインズワースである[2]。シューア補行列は数値解析 (特に数値線形代数) や統計学、行列解析の分野では主要な道具の一つとなっている。
定義 編集
行列 A, B, C, D のサイズをそれぞれ p × p, p × q, q × p, q × q として区分行列
D が正則であるとき、区分行列 M の区画 D に関するシューア補行列とは
A や D が正則でない場合にも、逆行列の代わりに一般化逆行列を用いることにより、一般化シューア補行列を定義することはできる。
背景 編集
シューア補行列は上記の行列 M にブロック下半三角行列
行列の反転補題の項では、上記の式と A, D の役割を入れ替えて同様の導出をした式との間の関係性が詳しく述べられる。
性質 編集
- 区分行列 M が正定値対称行列ならば、シューア補行列 M/D もそうである。
- A, B, C, D が全てスカラー(p = q = 1)のとき、2 × 2 行列の逆行列の公式
- 一般のサイズの場合、A が正則とすれば
- 区分行列 M の行列式は明らかに
- ガットマンの階数加法定理: 区分行列 M の階数は で与えられる。
- ヘインズワースの慣性加法定理: 区分行列 M の慣性指数は A の慣性指数と M/A の慣性指数との和に等しい。
線型方程式の解法への応用 編集
x, a が p-次元列ベクトル、y, b が q-次元列ベクトルで、区分行列 M が上記の如く与えられているとき、線型方程式系
電気工学においては、このことをしばしばノード除去 (node elimination) やクロン縮約などと言う。
確率論・統計学への応用 編集
確率列ベクトル X および Y はそれぞれ Rn および Rm を動くものとし、ベクトル (X, Y) ∈ Rn+m は共分散が正定値対称行列
このとき、Y が既知であるときの X の条件付き共分散 Cov(X | Y)は C に関する Σ のシューア補行列によって
上記の如く Σ を(しかし確率ベクトルの共分散としてではなく)標本共分散として与えたならば、ウィッシャート分布に従う。この場合、シューア補行列 Σ/C もまたウィッシャート分布に従う[要出典]。
定値性の判定条件 編集
対称行列 X は
- X が正定値となるための必要十分条件は、A および X/A がともに正定値となることである:
- X が正定値となるための必要十分条件は C および X/C がともに正定値となることである:
- A が正定値のとき、X が半正定値となるための必要十分条件は X/A が半正定値となることである。
- C が正定値のとき、X が半正定値となるための必要十分条件は X/C が半正定値となることである。
1. および 3. は u を止めて v の函数とみた量
同じように、一般化シューア補行列を用いても X の半正定値性を判定する必要十分条件を述べることができる[1]。つまり、Ag を A の一般化逆行列とすれば
関連項目 編集
参考文献 編集
- ^ a b Zhang, Fuzhen (2005). The Schur Complement and Its Applications. Springer. doi:10.1007/b105056. ISBN 0-387-24271-6
- ^ Haynsworth, E. V., "On the Schur Complement", Basel Mathematical Notes, #BNB 20, 17 pages, June 1968.
- ^ von Mises, Richard (1964). “Chapter VIII.9.3”. Mathematical theory of probability and statistics. Academic Press. ISBN 978-1483255385
- ^ Boyd, S. and Vandenberghe, L. (2004), "Convex Optimization", Cambridge University Press (Appendix A.5.5)
外部リンク 編集
- Schur complement - PlanetMath.(英語)
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Schur complement”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4