原点を中心とする上半平面にある正の半径Rの半円の経路で定義された複素数値の連続関数fを考える。
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aを正の数として、関数fが次の形式であるとする。
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このとき、ジョルダンの補題は、周回積分の次の上限を示す。
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等号はgがすべてにおいてゼロとなるときに成り立ち、このとき両辺がゼロになる。下半平面の半円形の経路に関する同様の定理は、 a < 0の場合に当てはまる。
(*)
- が成り立つとき、ジョルダンの補題より次が導かれる。
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- a = 0の場合については、推定補題を参照せよ。
- 推定補題と比較すると、ジョルダンの補題の上限は経路CRの長さに明示的に依存しない。
ジョルダンの補題の適用
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ジョルダンの補題により、関数f(z) = eiaz g(z)の実軸に沿った積分を計算する簡単な方法が与えられる。f(z)が上半平面で正則であり、閉じた上半平面で連続であるとき(ただし有限個の極z1, z2, …, znを除く)、画像に示されている経路C1 C2を連結した閉じた経路Cを考える。定義より、
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C2では変数zが実数であるため、2番目の積分は実数である。
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左辺は、留数定理を使用して計算する。 |z1| 、 |z2| 、…、 |zn| のすべてより大きいRについて以下が成り立つ。
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Res(f, zk)はfの特異点zkについての留数を示す。 fが条件( * )を満たしている場合、 Rが無限大の極限では、C1についての周回積分はジョルダンの補題によって消滅し、広義積分の値が以下のように得られる。
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関数
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はR ≠ 1をみたすR > 0に対してa = 1でジョルダンの補題の条件を満たす。 R > 1の場合、
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したがって、( * )が成り立つ。上半平面におけるfの唯一の特異点はz = iにあるため
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z = iはfの単純な極であり、1 + z2 = (z + i)(z − i)であるため、次のようになる。
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そのため
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この結果は、古典的な方法での計算が難しい積分のうち、一部が複素解析により簡単に求まることの例である。
ジョルダンの補題の証明
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複素線積分の定義により、
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不等式
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から
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( * )で定義されているMRと、正弦関数の対称性sin θ = sin(π – θ)から、次が導かれる。
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sin θのグラフは領域θ ∈ [0, π ⁄ 2]で凹関数なので、sin θのグラフは、それの端点を結んだ直線よりも上に来る。よってθ ∈ [0, π ⁄ 2]において
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このことから
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参考文献
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- Brown, James W.; Churchill, Ruel V. (2004). Complex Variables and Applications (7th ed.). New York: McGraw Hill. pp. 262–265. ISBN 0-07-287252-7