テレゲンの定理 （英 : Tellegen's theorem 、テレヘンの定理とも）は、電気回路 において各枝を流れる電流と、枝間の電位差の積の総和が0となることを意味する定理である。1952 年に Bernard D. H. Tellegen (英語版) によって報告された[1]
テレゲンの定理は様々なネットワークに適用できる。基本的な前提はキルヒホッフのふたつの法則 、すなわち回路における流れの保存則（電流則）と、節点におけるポテンシャルの一意性（電圧則）である。テレゲンの法則は、電気回路、生物の代謝ネットワーク、パイプラインによる輸送ネットワーク、化学反応ネットワークなどの、複雑なネットワークシステムの解析に適用できる。
ある連結有向グラフ （それぞれの枝に向きを定義したグラフ）を考える。枝 (branch) の数を
b
{\displaystyle b}
n
{\displaystyle n}
W
k
{\displaystyle W_{k}}
F
k
{\displaystyle F_{k}}
k
=
1
,
2
,
…
,
b
{\displaystyle k=1,2,\ldots ,b}
W
1
,
W
2
,
…
,
W
b
{\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots ,W_{b}}
F
1
,
F
2
,
…
,
F
b
{\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots ,F_{b}}
∑
k
=
1
b
W
k
F
k
=
0
{\displaystyle \sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=0}
電気回路ネットワークに対して、
n
{\displaystyle n}
b
{\displaystyle b}
接続行列
A
a
{\displaystyle \mathbf {A_{a}} }
a
i
k
=
{
1
,
節点
i
が枝
k
の始点であるとき
−
1
,
節点
i
が枝
k
の終点であるとき
0
,
節点
i
が枝
k
の端点でないとき
{\displaystyle a_{ik}={\begin{cases}1,&{\mbox{節点}}\,i\,{\mbox{が枝}}\,k\,{\mbox{の始点であるとき}}\\-1,&{\mbox{節点}}\,i\,{\mbox{が枝}}\,k\,{\mbox{の終点であるとき}}\\0,&{\mbox{節点}}\,i\,{\mbox{が枝}}\,k\,{\mbox{の端点でないとき}}\end{cases}}}
この行列の各列は、必ずひとつずつ 1 と -1 を持つから、
n
{\displaystyle n}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
A
a
{\displaystyle \mathbf {A_{a}} }
階数 は
n
−
1
{\displaystyle n-1}
A
a
{\displaystyle \mathbf {A_{a}} }
(
n
−
1
)
×
b
{\displaystyle (n-1)\times b}
規約接続行列 (reduced incidence matrix) と呼び、
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
とり去った行に対応する節点を基準節点 と呼び、この電位を０とする。そして基準節点以外の各節点の電位を
w
i
{\displaystyle w_{i}}
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
w
{\displaystyle \mathbf {w} }
W
k
{\displaystyle W_{k}}
w
b
{\displaystyle w_{b}}
w
e
{\displaystyle w_{e}}
W
k
=
w
b
−
w
e
{\displaystyle W_{k}=w_{b}-w_{e}}
であるから、
W
=
A
T
w
{\displaystyle \mathbf {W} =\mathbf {A} ^{\mathbf {T} }\mathbf {w} }
と書ける。ここで
W
{\displaystyle \mathbf {W} }
W
k
{\displaystyle W_{k}}
b
{\displaystyle b}
F
k
{\displaystyle F_{k}}
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
いま
∑
k
=
1
b
a
i
k
F
k
{\displaystyle \sum _{k=1}^{b}a_{ik}F_{k}}
を考えると、これは節点
i
{\displaystyle i}
A
F
=
0
{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {F} =\mathbf {0} }
が成立する。すると
W
T
F
=
(
A
T
w
)
F
=
(
w
T
A
)
F
=
w
T
(
A
F
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {W} ^{\mathbf {T} }\mathbf {F} =(\mathbf {A} ^{\mathbf {T} }\mathbf {w} )F=(\mathbf {w} ^{\mathbf {T} }\mathbf {A} )\mathbf {F} =\mathbf {w} ^{\mathbf {T} }(\mathbf {A} \mathbf {F} )=\mathbf {0} }
である。よってテレゲンの定理が証明できた。
テレゲンの定理の重要性
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非時間依存
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テレゲンの定理は
t
1
≠
t
2
{\displaystyle t_{1}\neq t_{2}}
∑
i
=
1
N
V
i
(
t
1
)
⋅
I
i
(
t
2
)
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}V_{i}(t_{1})\cdot I_{i}(t_{2})=0}
これの意味するところは、電位差の列
V
1
,
V
2
,
…
,
V
N
{\displaystyle {V_{1},V_{2},\dotsc ,V_{N}}}
I
1
,
I
2
,
…
,
I
N
{\displaystyle {I_{1},I_{2},\dotsc ,I_{N}}}
非素子依存
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これまで仮定していた回路と同じ位相構造を持つ回路を想定する。その回路の枝の最初の回路の枝
i
{\displaystyle i}
i
¯
{\displaystyle {\bar {i}}}
∑
i
=
1
,
i
¯
=
1
N
V
i
¯
(
t
)
⋅
I
i
(
t
)
=
0
∑
i
=
1
,
i
¯
=
1
N
V
i
(
t
)
⋅
I
i
¯
(
t
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1,{\bar {i}}=1}^{N}V_{\bar {i}}(t)\cdot I_{i}(t)=0\\\sum _{i=1,{\bar {i}}=1}^{N}V_{i}(t)\cdot I_{\bar {i}}(t)=0\end{aligned}}}
これの意味するところは、異なる素子からなる二つの回路から、それぞれ電位差と電流をサンプリングしてきたとしてもテレゲンの定理の保存する情報に影響しないということである。平たく言えば、テレゲンの定理の保存する情報とは回路の位相構造ということである。
^ Tellegen, B. D. H. (1952). “Tellegen, B. D. H. (1952). "A general network theorem with applications". Philips Research Reports. 7: 259–269.”. Phillips Research Reports 7 : 259-269.
参考文献
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平山 博, 大附辰夫『電気回路論 [3版改訂]』電気学会, 2008, 第5章 
