ド・ブランジュ空間

数学において、ド・ブランジュ空間 (ドブランジュくうかん 英: de Branges space) とは、関数解析学上の概念であり、ド・ブランジュ関数を用いて構築される。

この概念の名前は、この空間に関する多くの定理、特にヒルベルト空間としての性質について証明し、それらを用いてビーベルバッハ予想を証明したルイ・ド・ブランジュにちなむ。

ド・ブランジュ関数

ド・ブランジュ関数 (de Branges function) とは、$\mathbb {C}$ から $\mathbb {C}$ への整関数 E のうち、複素平面の上半平面に属する全ての z について不等式 $|E(z)|>|E({\bar {z}})|$ が満たされるものをいう。

定義1

あるド・ブランジュ関数 E に対して、ド・ブランジュ空間 B(E) は次を満たす整関数全体と定義される。

$F/E,F^{\#}/E\in H_{2}(\mathbb {C} ^{+})$

ここで、

• $\mathbb {C} ^{+}=\{z\in \mathbb {C} |{\rm {Im(z)}}>0\}$ は複素平面の上半平面、
• $F^{\#}(z)={\overline {F({\bar {z}})}}$、
• $H_{2}(\mathbb {C} ^{+})$ は上開半平面上の通常のハーディ空間である。

定義2

ド・ブランジュ空間は、次の条件を満す整関数 F 全体として定義することもできる。

• $\int _{\mathbb {R} }|(F/E)(\lambda )|^{2}\mathrm {d} \lambda <\infty$
• $|(F/E)(z)|,|(F^{\#}/E)(z)|\leq C_{F}(\operatorname {Im} (z))^{(-1/2)},\forall z\in \mathbb {C} ^{+}$

ヒルベルト空間として

あるド・ブランジュ空間 B(E) に対し、次の様にスカラー積を定義する。

$[F,G]={\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\overline {F(\lambda )}}G(\lambda ){\frac {\mathrm {d} \lambda }{|E(\lambda )|^{2}}}$

このような積を持つド・ブランジュ空間はヒルベルト空間であることを証明できる。

参考文献

• Christian Remling (2003). “Inverse spectral theory for one-dimensional Schrödinger operators: the A function”. Math. Z. 245: 597–617. doi:10.1007/s00209-003-0559-2.