ノート:ゼータ函数正規化

ゼータ函数正規化

英語版の｢zeta function regularization｣を日本語化、私はさほど英文に寄与していませんが、『解析的トーション』の内容に極めて密接に関連するので、日本語化しました．｢正規化｣という言葉が妥当ではないかもしれません．事実、日本語の｢正規化｣という記事はごく妥当なのですが、ここで言っている｢正規化｣とは異なります．--enyokoyama 2012年10月14日 (日) 13:16 (UTC)

物理では、通常｢正則化｣という用語を使用するようですし、一方数論の方では｢正規化｣という用語を使うようです．もとの英語は"regularization"であり同一ですが、、、本記事では｢正規化｣という用語に統一しました．しかし、一か所だけ物理で使っている正則化と同じであるという点を｢正則化｣と修正しました．--enyokoyama 2012年10月22日 (月) 15:40 (UTC)

英語版の修正分を日本語に反映した．英語版では『Casimir効果』の中にゼータ函数を使った物理量の導出が詳しく記載されているが、日本語版の『カシミール効果』にはいつのまにかなくなっている．この記事、英語版は非常に詳しいからやむなしか．--enyokoyama 2013年1月6日 (日) 13:57 (UTC)

英語版にElizaldeさんの提案している内容が記載されたので反映しましたが、引用が英語版のrenormalizationの項目参照となっている．しかし日本語版の『繰り込み』の記事にはElizaldeさんの提案の話題は触れられていない．困ったので、何か方策を考えようとしている．--enyokoyama 2013年3月20日 (水) 13:26 (UTC)

方策を考えているまもなく、本日、英文版の文献欄に、Springer社のサイトの同タイトルの記事へのリンクが張られていた．見てみたら、記事を書かれているのは、Elizaldeさんでした．--enyokoyama 2013年3月22日 (金) 15:05 (UTC)

英文版の「繰り込み理論」の中のElizaldeさんの記事

英語版の「繰り込み理論」の記事の中の、上記の（ゼータ函数正規化について）Elizaldeさんの理論を、下記に日本語化する．本来は「繰り込み理論」の記事の中に入れることがベストと思うが関連する説明することが難しいので、非公式な「ノート」として、本記事に添付することにします｡

ゼータ函数正規化

ジュリアン・シュウィンガー(Julian Schwinger)は、レギュレータ $\Lambda \rightarrow \infty$ として次の漸近的関係式を使い、ゼータ函数正規化と繰り込みの間の関係を発見した．

$I(n,\Lambda )=\int _{0}^{\Lambda }dp\,p^{n}\sim 1+2^{n}+3^{n}+\cdots +\Lambda ^{n}=\zeta (-n)$

この関係に基づき、彼は有限な値を得るために $\zeta (-n)$ を使うことを考えた．彼は整合性を持ってはいない結果に到達したが、一つの重要な公式がジェームス・ハートル(James Hartle)とE. エリザルデ(E. Elizalde)により研究され、ゼータ函数正規化のアルゴリズムの技術として、次の式が提案された．

$I(n,\Lambda )={\frac {n}{2}}I(n-1,\Lambda )+\zeta (-n)-\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {B_{2r}}{(2r)!}}a_{n,r}(n-2r+1)I(n-2r,\Lambda )$

ここに B' たちはベルヌーイ数(Bernoulli number)であり、

$a_{n,r}={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n-2r+2)}}.$

である．従って、すべての $I(m,\Lambda )$ は、$\zeta (-1),\zeta (-3),\zeta (-5),\ldots ,\zeta (-m)$ の線型結合として書き出すことができる．

あるいは、単純に、アーベル・プラナ公式(Abel–Plana formula)を使い、すべて発散する積分について m > 0 として、次の式を得ることになる．

$\zeta (-m,\beta )-{\frac {\beta ^{m}}{2}}-i\int _{0}^{\infty }dt{\frac {(it+\beta )^{m}-(-it+\beta )^{m}}{e^{2\pi t}-1}}=\int _{0}^{\infty }dp\,(p+\beta )^{m}$

ここにゼータ函数はフルビッツのゼータ函数(Hurwitz zeta function)であり、β は正の実数である．

「幾何学的」類似は、（三角形の方法(rectangle method)を使うと）そのように積分を評価することにより与えられる．

$\int _{0}^{\infty }dx\,(\beta +x)^{m}\approx \sum _{n=0}^{\infty }h^{m+1}\zeta (\beta h^{-1},-m)$

フルビッツのゼータ正規化に加えて、ステップ h の三角形の方法を使う．（ h をプランク定数と混乱せぬように）

複数変数 $k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}$ を持つ多重ループ積分に対し、極座標への座標変換をすることができ、角度 $\int d\Omega$ を渡る和によって積分すると、発散する積分を得ることができない．この積分は、モジュライ $r^{2}=k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+\cdots +k_{n}^{2}$ に依存していて、従ってゼータ函数正規化のアルゴリズムを適用することができる．多重ループ積分に対しての主要なアイデアは、超球面座標 $F(r,\Omega )$ の替わりにファクタ $F(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})$ を置き換えることであり、すると、UV の発散が変数 r の中にエンコードされる．これらの積分を正規化するためには、多重ループ積分に対し、レギュレータを必要とする．これらのレギュレータは $(1+{\sqrt {q}}_{i}q^{i})^{-s}$ として得ることができ、多重ループ積分はゼータ正規化を使い、変数 's' を s = 0 のとき、すなわち s = 0 のときの物理的極限へ解析接続することができ、十分大きな 's' に対して（この多重積分は）収束し、任意の UV 積分を正規化できる．

この記事のSchwingerが、繰り込みとゼータ函数正規化との関係を発見したという先頭の一文には、出典を求めるコメントが添付されている．この部分については、英語版の方で確定してから、反映するつもりです．--enyokoyama 2013年3月23日 (土) 08:06 (UTC)