ブロッホ群

数学において、ブロッホ群（英: Bloch group）はブロッホ・ウィグナーの関数の線形関係式を記述する群であり、高次のブロッホ群は一般にブロッホ・ススリン複体のコホモロジー群として定義される。複体の名前はスペンサー・ブロッホ (Spencer Bloch) とアンドレイ・ススリン (Андре́й Су́слин) に因む。ブロッホ群は以下に述べるように多重対数関数、双曲幾何学、代数的K理論などと密接に関係している。

ブロッホ・ウィグナーの関数

二重対数関数は |z| < 1 に対して次の冪級数で定義される。

$\operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{2}}}$

この冪級数から二重対数関数の積分表示

$\operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}\log(1-t)\;{\frac {dt}{t}}$

が得られる。ただし二重対数関数は2点 0, 1 で分岐しモノドロミー（多価性）を持つため、積分表示が冪級数表示に一致するためには 0 から z への積分路は $z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}$ の非自明なサイクルを含まないようなものをとる必要がある。（一見すると z = 0 に分岐はないように見えるが、実は z = 1 を周回したシート上に z = 0 の分岐が現れる。）この積分表示によって Li₂(z) は $z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}$ の普遍被覆空間に正則に解析接続される。

ブロッホ・ウィグナーの関数は二重対数関数を用いて次のように定義される。

$D_{2}(z)=\Im (\operatorname {Li} _{2}(z))+\arg(1-z)\log \left|z\right|$

D₂(z) には次のような著しい性質がある。

• D₂(z) はモノドロミーを持たず $\mathbb {C} \setminus \{0,1\}$ 上の一価実解析的関数になる。
• $D_{2}(z)=D_{2}\left({\frac {z-1}{z}}\right)=D_{2}\left({\frac {1}{1-z}}\right)=-D_{2}\left({\frac {1}{z}}\right)=-D_{2}(1-z)=-D_{2}\left({\frac {z}{z-1}}\right).$
• $D_{2}(x)+D_{2}(y)+D_{2}\left({\frac {1-x}{1-xy}}\right)+D_{2}\left(1-xy\right)+D_{2}\left({\frac {1-y}{1-xy}}\right)=0.$

最後の恒等式は本質的に二重対数関数に対するアーベルの5項関係式である (Abel 1881)。

ブロッホ群の定義

K を体とし、$\mathbb {Z} (K)=\mathbb {Z} [K\setminus \{0,1\}]$ を $K\setminus \{0,1\}$ の元 x に対する [x] により Z 上生成された自由加群とする。また ${\mathcal {D}}(K)$ を

$[x]+[y]+\left[{\frac {1-x}{1-xy}}\right]+[1-xy]+\left[{\frac {1-y}{1-xy}}\right]$

の形の元の生成する Z(K) の部分加群とし、${\mathcal {A}}(K)=\mathbb {Z} (K)/{\mathcal {D}}(K)$ と定めよう。いまブロッホ・ウィグナーの関数の定義域を Z(C) に線形に拡張し、x = Σn_j[x_j] ∈ Z(C) に対して D₂(x) = Σn_jD₂(x_j) と定める。すると D₂ の 5項関係式は

$x\in {\mathcal {D}}(\mathbb {C} )\Rightarrow D_{2}(x)=0$

と言い換えられ、従って D₂ は ${\mathcal {A}}(\mathbb {C} )$ 上定義される。さて、

$d\colon {\mathcal {A}}(K)\longrightarrow \wedge ^{2}(K^{\times })$

を、$x\in K\setminus \{0,1\}$ に対しては d[x] = x∧(1−x) と定め、これを Z(K) に線形に拡張したものとする。（d が ${\mathcal {A}}$ 上 well-defined であることをみるには ${\mathcal {D}}(K)\subset \ker d$ をチェックする必要がある。）このときブロッホ群 ${\mathcal {B}}_{2}(K)$ を

${\mathcal {B}}_{2}(K)=\ker d$

と定義する (Bloch 1978)。松本の定理により ${\mathcal {K}}_{2}(K)$ を 2次の代数的K群として ${\mathcal {K}}_{2}(K)=\operatorname {coker} d$ が知られている。${\mathcal {B}}_{2}(\mathbb {C} )$ は D₂ の線形関係式を完全に記述する群である。すなわち次が成り立つ。

$x\in {\mathcal {B}}_{2}(\mathbb {C} )\Leftrightarrow D_{2}(x)=0.$

K₃ とブロッホ群の関係

K を無限体とする。このとき $c=[x]+[1-x]\in {\mathcal {B}}_{2}(K)$ は x の取り方に依らない。GM(K) を無限次単項行列のなす GL(K) の部分群、BGM(K)⁺ をキレンのプラス構成とすると、

$\operatorname {coker} \left[\pi _{3}(\operatorname {BGM} (K)^{+})\rightarrow {\mathcal {K}}_{3}(K)\right]=(2c)^{-1}{\mathcal {B}}_{2}(K)$

が成り立つ (Suslin 1990)。ここで ${\mathcal {K}}_{3}(K)=\pi _{3}(\operatorname {BGL} (K)^{+})$ は 3次の代数的K群である。 さらに、ミルナーのK群を ${\mathcal {K}}_{3}^{M}$ として、${\mathcal {K}}_{3}(K)_{\mathrm {ind} }=\operatorname {coker} ({\mathcal {K}}_{3}^{M}(K)\rightarrow {\mathcal {K}}_{3}(K)),\;$　$\operatorname {Tor} (K^{\times },K^{\times })^{\sim }$ を $\operatorname {Tor} (K^{\times },K^{\times })$ のただ一つの非自明な Z/2Z 拡大とする。このとき以下の完全列が知られている。

$0\longrightarrow \operatorname {Tor} (K^{\times },K^{\times })^{\sim }\longrightarrow {\mathcal {K}}_{3}(K)_{\mathrm {ind} }\longrightarrow {\mathcal {B}}_{2}(K)\longrightarrow 0.$

3次元双曲幾何学との関係

ブロッホ・ウィグナー関数 $D_{2}(z)$ は $\mathbb {C} \setminus \{0,1\}=\mathbb {C} P^{1}\setminus \{0,1,\infty \}$ 上の関数であり、次のような双曲幾何学的な意味を持つ。$\mathbb {H} ^{3}$ を実3次元の双曲空間とし、$\mathbb {H} ^{3}=\mathbb {C} \times \mathbb {R} _{>0}$ と半空間表示する。$\mathbb {H} ^{3}$ の無限遠点の全体 ${\overline {\mathbb {H} ^{3}}}\setminus \mathbb {H} ^{3}$ は $\mathbb {C} \cup \{\infty \}=\mathbb {C} P^{1}$ とみなすことができる。無限遠点のみを頂点とする四面体を理想的四面体と呼び、$(p_{1},\ldots ,p_{3}\in \mathbb {C} P^{1})$ を無限遠点上の頂点として $(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3})\;$ で表す。四面体の(符号付き)体積を $\left\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle$ と表す。このとき、計量の定数倍を適切にとれば、四面体の複比は、

$\left\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle =D_{2}\left({\frac {(p_{0}-p_{2})(p_{1}-p_{3})}{(p_{0}-p_{1})(p_{2}-p_{3})}}\right)$

であり、特に $D_{2}(z)=\left\langle 0,1,z,\infty \right\rangle$ である。$D_{2}(z)$ の5項関係式は、退化した理想的 4単体 $(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})$ の境界の体積が 0 であることと

$\left\langle \partial (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})\right\rangle =\sum _{i=0}^{4}(-1)^{i}\left\langle p_{0},\dots ,{\hat {p}}_{i},\dots ,p_{4}\right\rangle =0$

とは同値である。

加えて、3次元双曲多様体 $X=\mathbb {H} ^{3}/\Gamma$ が与えられると、

$X=\bigcup _{j=1}^{n}\Delta (z_{j})$

と分解する。ここに $\Delta (z_{j})$ は、理想四面体であり、それらの頂点はすべて $\partial \mathbb {H} ^{3}$ 上の無限遠点にある。ここに $z_{j}$ は $\operatorname {Im} z_{j}>0$ となるある複素数である。各々の理想四面体は、$\operatorname {Im} z>0$ となる複素数 $z$ （四面体の頂点の複比となるが、）に対し $0,1,z,\infty$ を頂点とする理想四面体のひとつにアイソメトリック(isometric)である。このように、四面体の体積は一つのパラメータ $z$ にのみ依存する。(Neumann & Zagier 1985) は、理想四面体 $\Delta$ に対し $vol(\Delta (z))=D_{2}(z),$ ただし $D_{2}(z)$ はブロッホ・ウィグナーの二重対数、となることを示した。一般の 3次元双曲多様体に対し、理想四面体を互いに張り合わせることにより、

$vol(X)=\sum _{j=1}^{n}$

を得る。モストウの剛性定理は、${\text{Im}}\ z_{j}>0$ であるすべての $j$ に対する四面体の体積の値が一意に定まることを保証している。

一般化

二重対数の代わりに、三重対数やさらに高次の多重対数を用いることで、ブロッホ群の概念は (Goncharov 1991) と (Zagier 1990) により拡張された。これらの一般化ブロッホ群 ${\mathcal {B}}_{n}$ が、代数的K理論やモチヴィックコホモロジーと関係するということが、広く予想されている。また、(Neumann 2004)により定義された拡大されたブロッホ群のように、別の方向への一般化もある。

参考文献

• Abel, N.H. (1881) [1826]. “Note sur la fonction $\scriptstyle \psi x=x+{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n^{2}}}+\cdots$”. In Sylow, L.; Lie, S. (French). Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II. Christiania [Oslo]: Grøndahl & Søn. pp. 189–193. http://www.abelprisen.no/verker/oeuvres_1881_del2/oeuvres_completes_de_abel_nouv_ed_2_kap14_opt.pdf  (this 1826 manuscript was only published posthumously.)

• Bloch, S. (1978). “Applications of the dilogarithm function in algebraic K-theory and algebraic geometry”. In Nagata, M. Proc. Int. Symp. on Alg. Geometry. Tokyo: Kinokuniya. pp. 103–114 

• Goncharov, A.B. (1991). “The classical trilogarithm, algebraic K-theory of fields, and Dedekind zeta-functions”. Bull. AMS. pp. 155–162. http://www.ams.org/journals/bull/1991-24-01/S0273-0979-1991-15975-6/S0273-0979-1991-15975-6.pdf 

• Neumann, W.D. (2004). “Extended Bloch group and the Cheeger-Chern-Simons class”. Geometry and Topology. pp. 413–474. http://arxiv.org/abs/math/0307092 

• Neumann, W.D.; Zagier, D. (2004). “Volumes of hyperbolic three-manifolds”. Topology 24: 307-332. 

• Suslin, A.A. (1990). “$\operatorname {K} _{3}$ of a field, and the Bloch group” (Russian). Trudy Mat. Inst. Steklov. pp. 180–199. http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=1914&option_lang=eng 

• Zagier, D. (1990). “Polylogarithms, Dedekind zeta functions, and the algebraic K-theory of fields”. In van der Geer, G.; Oort, F.; Steenbrink, J. Arithmetic Algebraic Geometry. Boston: Birkhäuser. pp. 391–430