ボーム解釈は次の原理に基づく。
粒子はひとつに定まった経路を運動する。
あらゆる時刻 において、粒子の位置 、運動量 はひとつに定まっている。
観測者はその経路を完全に知ることはできない。
観測者による位置および運動量の測定 には、常に古典的 な不確定性 （すなわち測定誤差 ）がともなう。
粒子の配置状態は、配置空間上で定義される、粒子の運動を先導する場によって決定される。
ド・ブロイはその場をパイロット波 と呼び、ボームはψ場 と呼んだ。ψ場は粒子の運動を先導し、また「量子ポテンシャル」
Q
(
x
,
t
)
{\displaystyle Q({\boldsymbol {x}},t)}
ψ場はシュレディンガー方程式を満たす。
ψ場は量子力学における波動関数 と同等であり、シュレディンガー方程式 に従って時間発展する。粒子の位置はψ場に影響を与えない。
粒子の運動量はその位置における波動関数の勾配によって決定される。
粒子系は統計集団の形式をとり、その確率密度ρは
ρ
(
x
,
t
)
=
|
ψ
(
x
,
t
)
|
2
{\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}},t)=|\psi ({\boldsymbol {x}},t)|^{2}}
観測者は測定前の各々の粒子の完全な経路を知ることはできないが、測定によって得られる統計的な観測結果はψ場（波動関数）から得られる確率密度関数ρに一致する。 以上の形式は非相対論的であり、速度や重力の小さい極限でのみ正しい結果を与えるが、相対論的な拡張も試みられている。
ボーム解釈は、主流派であるコペンハーゲン解釈とは異なり、客観的かつ決定論的な量子力学の解釈であり、宇宙 は波束の収縮 などを経ずに連続的に変化すると主張する。この解釈によれば、宇宙はひとつの定まった客観的な歴史を経てきたものの、観測者は宇宙の歴史を決定付けるためのいくつかの変数を完全に知ることができず、その結果、我々の目には不確定性が存在するように見える。
名称と発展
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ボーム解釈は時代を経るにしたがって発展し、その内容を変化させてきたため、いくつかの異なる形式のものが存在する。それらは以下のような名称で分類される。
パイロット波理論
ド・ブロイが1927年のソルベー会議 で提案したもの。スピンのない多粒子系について適用できる決定論的理論であるが、測定についての十分な理論を欠いている。
ド・ブロイ–ボーム理論または ボーム力学
ボームが自身の論文[2] [3]
因果律的解釈と存在論的解釈
ボームは自身のアイデアをさらに発展させ、それを因果律的解釈 と呼んだが、「因果律的」という言葉が「決定論的」と同じように受け取れるため、存在論的解釈 とのちに改めた。この理論はHileyとの共著[1] シュレディンガー方程式の再構成
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一粒子系
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ボームのアイデアのいくつかは、シュレディンガー方程式 の再構成に基づいている。波動関数
ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}},t)}
ψ
(
x
,
t
)
=
R
(
x
,
t
)
e
i
S
(
x
,
t
)
/
ℏ
{\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}},t)=R({\boldsymbol {x}},t)e^{iS({\boldsymbol {x}},t)/\hbar }}
のように、絶対値
R
(
x
,
t
)
{\displaystyle R({\boldsymbol {x}},t)}
S
(
x
,
t
)
{\displaystyle S({\boldsymbol {x}},t)}
質量 m の一粒子についてのシュレディンガー方程式は
i
ℏ
∂
ψ
(
x
,
t
)
∂
t
=
−
ℏ
2
2
m
∇
2
ψ
(
x
,
t
)
+
V
(
x
)
ψ
(
x
,
t
)
,
{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi ({\boldsymbol {x}},t)}{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ({\boldsymbol {x}},t)+V({\boldsymbol {x}})\psi ({\boldsymbol {x}},t),}
ここで波動関数
ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}},t)}
x
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}
t において定義される複素関数である。
粒子はこのψ場の中を以下の先導方程式に従って運動する。
d
x
(
t
)
d
t
=
ℏ
m
Im
(
∇
ψ
(
x
,
t
)
ψ
(
x
,
t
)
)
=
1
m
∇
S
(
x
,
t
)
.
{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {x}}(t)}{dt}}={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla \psi ({\boldsymbol {x}},t)}{\psi ({\boldsymbol {x}},t)}}\right)={\frac {1}{m}}\nabla S({\boldsymbol {x}},t).}
この式から粒子の軌跡を得ることができる。
確率密度
ρ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}},t)}
絶対値 の2乗として定義される実関数である：
ρ
(
x
,
t
)
=
|
ψ
(
x
,
t
)
|
2
{\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}},t)=|\psi ({\boldsymbol {x}},t)|^{2}}
ここで次の2つの実関数
R
(
x
,
t
)
{\displaystyle R({\boldsymbol {x}},t)}
S
(
x
,
t
)
{\displaystyle S({\boldsymbol {x}},t)}
ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}},t)}
ψ
(
x
,
t
)
=
R
(
x
,
t
)
e
i
S
(
x
,
t
)
/
ℏ
.
{\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}},t)=R({\boldsymbol {x}},t)e^{iS({\boldsymbol {x}},t)/\hbar }.}
すると、シュレディンガー方程式は
R
(
x
,
t
)
{\displaystyle R({\boldsymbol {x}},t)}
S
(
x
,
t
)
{\displaystyle S({\boldsymbol {x}},t)}
∂
R
(
x
,
t
)
∂
t
=
−
1
2
m
[
R
(
x
,
t
)
∇
2
S
(
x
,
t
)
+
2
∇
R
(
x
,
t
)
⋅
∇
S
(
x
,
t
)
]
∂
S
(
x
,
t
)
∂
t
=
−
[
V
+
1
2
m
(
∇
S
(
x
,
t
)
)
2
−
ℏ
2
2
m
∇
2
R
(
x
,
t
)
R
(
x
,
t
)
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial R({\boldsymbol {x}},t)}{\partial t}}&={\frac {-1}{2m}}[R({\boldsymbol {x}},t)\nabla ^{2}S({\boldsymbol {x}},t)+2\nabla R({\boldsymbol {x}},t)\cdot \nabla S({\boldsymbol {x}},t)]\\{\frac {\partial S({\boldsymbol {x}},t)}{\partial t}}&=-\left[V+{\frac {1}{2m}}(\nabla S({\boldsymbol {x}},t))^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R({\boldsymbol {x}},t)}{R({\boldsymbol {x}},t)}}\right].\end{aligned}}}
R
(
x
,
t
)
{\displaystyle R({\boldsymbol {x}},t)}
絶対値
|
ψ
(
x
,
t
)
|
{\displaystyle |\psi ({\boldsymbol {x}},t)|}
R
2
(
x
,
t
)
{\displaystyle R^{2}({\boldsymbol {x}},t)}
ρ
(
x
,
t
)
=
|
ψ
(
x
,
t
)
|
2
{\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}},t)=|\psi ({\boldsymbol {x}},t)|^{2}}
S
(
x
,
t
)
{\displaystyle S({\boldsymbol {x}},t)}
位相 （偏角 ）であるが、これは作用原理における作用 に相当する。
ψ
(
x
,
t
)
=
ρ
(
x
,
t
)
e
i
S
(
x
,
t
)
/
ℏ
.
{\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}},t)={\sqrt {\rho ({\boldsymbol {x}},t)}}e^{iS({\boldsymbol {x}},t)/\hbar }.}
最終的に、
−
∂
ρ
(
x
,
t
)
∂
t
=
∇
⋅
(
ρ
(
x
,
t
)
∇
S
(
x
,
t
)
m
)
(
1
)
m
d
2
x
(
t
)
d
t
2
=
−
∇
(
V
(
x
)
+
Q
(
x
,
t
)
)
(
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\partial \rho ({\boldsymbol {x}},t)}{\partial t}}&=\nabla \cdot \left(\rho ({\boldsymbol {x}},t){\frac {\nabla S({\boldsymbol {x}},t)}{m}}\right)\qquad (1)\\m{\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}(t)}{dt^{2}}}&=-\nabla (V({\boldsymbol {x}})+Q({\boldsymbol {x}},t))\qquad (2)\end{aligned}}}
ただし
Q
(
x
,
t
)
=
−
ℏ
2
2
m
∇
2
R
(
x
,
t
)
R
(
x
,
t
)
=
−
ℏ
2
2
m
∇
2
ρ
(
x
,
t
)
ρ
(
x
,
t
)
=
−
ℏ
2
2
m
[
∇
2
ρ
(
x
,
t
)
2
ρ
(
x
,
t
)
−
(
∇
ρ
(
x
,
t
)
2
ρ
(
x
,
t
)
)
2
]
.
{\displaystyle Q({\boldsymbol {x}},t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R({\boldsymbol {x}},t)}{R({\boldsymbol {x}},t)}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho ({\boldsymbol {x}},t)}}}{\sqrt {\rho ({\boldsymbol {x}},t)}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[{\frac {\nabla ^{2}\rho ({\boldsymbol {x}},t)}{2\rho ({\boldsymbol {x}},t)}}-\left({\frac {\nabla \rho ({\boldsymbol {x}},t)}{2\rho ({\boldsymbol {x}},t)}}\right)^{2}\right].}
ボームは、上式で現れる
Q
(
x
,
t
)
{\displaystyle Q({\boldsymbol {x}},t)}
量子ポテンシャル と名付けた。(2)はニュートンの運動方程式に量子ポテンシャルを付加したものであり、ボームは(2)を粒子の運動についての基本方程式として採用した。一方でド・ブロイはニュートンの運動方程式との類似性には興味をもたず、先導方程式を採用している[4]
多粒子系
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以上の議論は多粒子系に簡単に拡張できる。多粒子系のシュレディンガー方程式は、
i
ℏ
∂
ψ
∂
t
=
∑
i
−
ℏ
2
2
m
i
∇
i
2
ψ
+
V
ψ
,
{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\sum _{i}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}\psi +V\psi ,}
ここでi 番目の粒子は
m
i
{\displaystyle m_{i}\,}
t における位置座標を
x
i
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{i}}
ψ
(
x
1
,
x
2
,
…
,
t
)
{\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2},\dots ,t)}
x
i
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{i}}
t の関数である。
∇
i
{\displaystyle \nabla _{i}}
i 番目の粒子の位置座標
x
i
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{i}}
ナブラ である。
波動関数は
ψ
=
R
e
i
S
/
ℏ
{\displaystyle \psi =Re^{iS/\hbar }}
R
(
x
1
,
x
2
,
…
,
t
)
{\displaystyle R({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2},\dots ,t)}
S
(
x
1
,
x
2
,
…
,
t
)
{\displaystyle S({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2},\dots ,t)}
粒子はこのψ場の中を以下の先導方程式に従って運動する。
d
x
i
(
t
)
d
t
=
ℏ
m
i
Im
(
∇
i
ψ
ψ
)
=
1
m
i
∇
i
S
.
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} _{i}(t)}{dt}}={\frac {\hbar }{m_{i}}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla _{i}\psi }{\psi }}\right)={\frac {1}{m_{i}}}\nabla _{i}S.}
この式からi 番目の粒子の軌跡を得ることができる。
確率密度
ρ
(
x
1
,
x
2
,
…
,
t
)
{\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2},\dots ,t)}
ρ
=
|
ψ
|
2
.
{\displaystyle \rho =|\psi |^{2}.}
ρ
{\displaystyle \rho }
ψ
=
ρ
e
i
S
/
ℏ
{\displaystyle \psi ={\sqrt {\rho }}e^{iS/\hbar }}
ここから一粒子系と同様に、
ρ
{\displaystyle \rho }
S
{\displaystyle S}
−
∂
ρ
∂
t
=
∑
i
∇
i
⋅
(
ρ
∇
i
S
m
i
)
(
3
)
m
i
d
2
x
i
(
t
)
d
t
2
=
−
∇
i
(
V
+
Q
)
(
4
)
{\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&=\sum _{i}\nabla _{i}\cdot \left(\rho {\frac {\nabla _{i}S}{m_{i}}}\right)\qquad (3)\\m_{i}{\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}_{i}(t)}{dt^{2}}}&=-\nabla _{i}(V+Q)\qquad (4)\end{aligned}}}
ただし
Q
=
−
∑
i
ℏ
2
2
m
i
∇
i
2
R
R
=
−
∑
i
ℏ
2
2
m
i
[
∇
i
2
ρ
2
ρ
−
(
∇
i
ρ
2
ρ
)
2
]
.
{\displaystyle Q=-\sum _{i}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}{\frac {\nabla _{i}^{2}R}{R}}=-\sum _{i}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\left[{\frac {\nabla _{i}^{2}\rho }{2\rho }}-\left({\frac {\nabla _{i}\rho }{2\rho }}\right)^{2}\right].}
ボーム解釈は、コペンハーゲン解釈における波束の収縮 や、観測されていない粒子の非実在性といった性質が、量子力学自体に特有のものではなく、コペンハーゲン解釈を採った場合に現れるものにすぎないことを示す。量子ポテンシャルQ（や先導方程式のψやS）が、（遠くにいる）別の粒子に依存することからも分かるように、1つの粒子に対する影響が他の粒子に瞬間的に伝わる非局所的な理論である。
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial R({\boldsymbol {x}},t)}{\partial t}}&={\frac {-1}{2m}}[R({\boldsymbol {x}},t)\nabla ^{2}S({\boldsymbol {x}},t)+2\nabla R({\boldsymbol {x}},t)\cdot \nabla S({\boldsymbol {x}},t)]\\{\frac {\partial S({\boldsymbol {x}},t)}{\partial t}}&=-\left[V+{\frac {1}{2m}}(\nabla S({\boldsymbol {x}},t))^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R({\boldsymbol {x}},t)}{R({\boldsymbol {x}},t)}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f86248ab4219b0b60a093d957f4f3c515aac3a)
![{\displaystyle Q({\boldsymbol {x}},t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R({\boldsymbol {x}},t)}{R({\boldsymbol {x}},t)}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho ({\boldsymbol {x}},t)}}}{\sqrt {\rho ({\boldsymbol {x}},t)}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[{\frac {\nabla ^{2}\rho ({\boldsymbol {x}},t)}{2\rho ({\boldsymbol {x}},t)}}-\left({\frac {\nabla \rho ({\boldsymbol {x}},t)}{2\rho ({\boldsymbol {x}},t)}}\right)^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41067bb566af0f4e567bbec4f291c77b10b15952)
![{\displaystyle Q=-\sum _{i}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}{\frac {\nabla _{i}^{2}R}{R}}=-\sum _{i}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\left[{\frac {\nabla _{i}^{2}\rho }{2\rho }}-\left({\frac {\nabla _{i}\rho }{2\rho }}\right)^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c65151d44bff18c632276a2606ce9f277fae554)