p
=
(
p
1
,
…
,
p
n
)
,
q
=
(
q
1
,
…
,
q
n
)
{\displaystyle p=(p_{1},\ldots ,p_{n}),\ q=(q_{1},\dots ,q_{n})}
相空間 上の可微分な実数値関数 f (p ,q ), g (p ,q )f , g ポアソン括弧 とは、関数
{
f
,
g
}
:=
∑
i
=
1
n
(
∂
f
∂
q
i
∂
g
∂
p
i
−
∂
g
∂
q
i
∂
f
∂
p
i
)
{\displaystyle \{f,g\}:=\sum _{i=1}^{n}{\Big (}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\Big )}}
の事である。
{
f
,
g
}
{\displaystyle \{f,g\}}
(q , p ) の関数である事を明記して
{
f
,
g
}
(
q
,
p
)
{\displaystyle \{f,g\}(q,p)}
またベクトル表記を用れば、
{
f
,
g
}
=
∂
f
∂
q
∂
g
∂
p
−
∂
g
∂
q
∂
f
∂
p
{\displaystyle \{f,g\}={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial g}{\partial p}}-{\frac {\partial g}{\partial q}}{\frac {\partial f}{\partial p}}}
とも書き表せる。
数学的性質
編集
相空間上の二階微分可能 な任意の実数値関数 f , g , h
{
⋅
,
⋅
}
{\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}
双線形性 ）
{
f
,
g
}
=
−
{
g
,
f
}
{\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}
歪対称性 ）
{
{
f
,
g
}
,
h
}
+
{
{
h
,
f
}
,
g
}
+
{
{
g
,
h
}
,
f
}
=
0
{\displaystyle \{\{f,g\},h\}+\{\{h,f\},g\}+\{\{g,h\},f\}=0}
ヤコビの恒等式 ）
{
f
g
,
h
}
=
{
f
,
h
}
g
+
f
{
g
,
h
}
{\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}}
{
f
,
g
h
}
=
{
f
,
g
}
h
+
g
{
f
,
h
}
{\displaystyle \{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h\}}
ライプニッツ・ルール ）
また、正準変数 q , p
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{ij}}
クロネッカーのデルタ :
δ
i
j
:=
{
1
,
i
=
j
,
0
,
i
≠
j
.
{\displaystyle \delta _{ij}:={\begin{cases}1,&i=j,\\0,&i\neq j.\end{cases}}}
{
p
i
,
p
j
}
=
{
q
i
,
q
j
}
=
0
{\displaystyle \{p_{i},p_{j}\}=\{q_{i},q_{j}\}=0}
{
q
i
,
p
j
}
=
δ
i
j
{\displaystyle \{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}}
{
f
,
p
i
}
=
∂
f
∂
q
i
{\displaystyle \{f,p_{i}\}={\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}}
ポアソン括弧と保存量
編集
ポアソン括弧は運動の保存量を見つける為に役立つ。実際 H を時間不変なハミルトニアンとし、(q (t ),p (t )) を H に関する正準方程式 の解とし、f を（時刻に依存しない）可微分な任意の関数とすれば、
d
d
t
f
(
q
(
t
)
,
p
(
t
)
)
=
∂
f
∂
q
q
˙
+
∂
f
∂
p
p
˙
=
(
1
)
∂
f
∂
q
∂
H
∂
p
−
∂
f
∂
p
∂
H
∂
q
=
{
f
,
H
}
(
q
(
t
)
,
p
(
t
)
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(q(t),p(t))={\frac {\partial f}{\partial q}}{\dot {q}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\dot {p}}{\underset {(1)}{=}}{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{f,H\}(q(t),p(t))}
であるので、 {f , H } が0なら f (q (t ),p (t ))t によらず不変である。（上で(1)は正準方程式 から従う。）
また f, g を {f , H }, {g , H } が恒等的に0になる関数とすれば、
{
{
f
,
g
}
,
H
}
=
(
2
)
−
{
{
H
,
f
}
,
g
}
−
{
{
g
,
H
}
,
f
}
=
(
3
)
0.
{\displaystyle \{\{f,g\},H\}{\underset {(2)}{=}}-\{\{H,f\},g\}-\{\{g,H\},f\}{\underset {(3)}{=}}0.}
よって {f ,g }(q (t ),p (t )) も時刻 t によらず不変である。（上で(2)ヤコビの恒等式、(3)は歪対称性と仮定から従う。）
f, g が運動の保存量である事が分かれば、物体は f = const., g = const.2n −1 個見つかれば、物体が運動する場所が1次元空間に限定されるので、物体の軌道が完全に決定できる。多くの系において正準方程式を実際に解いて運動を決定するのは非常に困難である為、ポアソン括弧を使って保存量を見つけて運動の範囲を特定するのはハミルトン力学において重要な手法となる。
シンプレクティック形式による定義
編集
ポアソン括弧の前述した定義は正準座標 (q,p) に依存しているが、シンプレクティック形式 ω を使えば座標に依存しない定義を以下のようにして得られる。（よって特に、ポアソン括弧をシンプレクティック多様体 上で定義できる。）
関数 f に対し、
X
f
{\displaystyle X_{f}}
d
f
(
⋅
)
=
ω
(
X
f
,
⋅
)
{\displaystyle \mathrm {d} f(\cdot )=\omega (X_{f},\cdot )}
を満たす接ベクトル とするとき、ポアソン括弧 {f,g} は
{
f
,
g
}
=
ω
(
X
f
,
X
g
)
{\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})}
により定義される。ここで d は外微分 である。なお(4)を満たす
X
f
{\displaystyle X_{f}}
外積代数 の一般論から従う。この定義によるポアソン括弧が前述の定義によるそれと一致する事は、シンプレクティック形式をダルブー座標 で直接書き表して見る事で簡単に証明できる。
また外積代数の一般論から、ポアソン括弧は以下のようにも書き表す事ができる事が示せる：
{
f
,
g
}
=
d
f
(
X
g
)
=
−
d
g
(
X
f
)
=
X
g
(
f
)
=
−
X
f
(
g
)
{\displaystyle \{f,g\}=\mathrm {d} f(X_{g})=-\mathrm {d} g(X_{f})=X_{g}(f)=-X_{f}(g)}
リー括弧との関係
編集
ポアソン括弧とリー括弧
[
A
,
B
]
=
A
B
−
B
A
{\displaystyle [A,B]=AB-BA}
は以下の関係を満たす：
X
{
f
,
g
}
=
−
[
X
f
,
X
g
]
.
{\displaystyle X_{\{f,g\}}=-[X_{f},X_{g}].}
h を二回微分可能な任意の関数とするとき、(5)より
X
f
X
g
(
h
)
=
X
f
(
{
h
,
g
}
)
=
{
{
h
,
g
}
,
f
}
.
{\displaystyle X_{f}X_{g}(h)=X_{f}(\{h,g\})=\{\{h,g\},f\}.}
同様に
X
g
X
f
(
h
)
=
{
{
h
,
f
}
,
g
}
.
{\displaystyle X_{g}X_{f}(h)=\{\{h,f\},g\}.}
よってヤコビの恒等式と(5)より、
[
X
f
,
X
g
]
(
h
)
=
(
X
f
X
g
−
X
g
X
f
)
(
h
)
=
{
{
h
,
g
}
,
f
}
−
{
{
h
,
f
}
,
g
}
=
{
{
f
,
g
}
,
h
}
=
−
X
{
f
,
g
}
(
h
)
.
{\displaystyle [X_{f},X_{g}](h)=(X_{f}X_{g}-X_{g}X_{f})(h)=\{\{h,g\},f\}-\{\{h,f\},g\}=\{\{f,g\},h\}=-X_{\{f,g\}}(h).}
h の任意性より
[
X
f
,
X
g
]
=
−
X
{
f
,
g
}
{\displaystyle [X_{f},X_{g}]=-X_{\{f,g\}}}
関連項目
編集
![{\displaystyle [A,B]=AB-BA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a3b93b316dd0b6b0ab2c71e486c901ddfe6e79a)
![{\displaystyle X_{\{f,g\}}=-[X_{f},X_{g}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d69452ba578e1d217e3c9d9de2c294e106d026ec)
=(X_{f}X_{g}-X_{g}X_{f})(h)=\{\{h,g\},f\}-\{\{h,f\},g\}=\{\{f,g\},h\}=-X_{\{f,g\}}(h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb69203d6ff35ddeea023590591a7dcc5a7ad8ce)
![{\displaystyle [X_{f},X_{g}]=-X_{\{f,g\}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7806440ef23522511e42393b8fac9d66d7d1b33)