測度空間 上のローレンツ空間は、次の準ノルムが有限であるような X 上の複素数値可測函数 の空間である:
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ここで および である。したがって、 のとき、
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であり、 のときは
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となる。また慣習的に とすることとなっている。
減少再配分
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ローレンツ空間の準ノルムは、その定義により、函数 の値の再配分(rearranging)の下で不変である。特に、ある測度空間 上で定義される複素数値可測函数 が与えられたとき、その減少再配分(decreasing rearrangement)函数 は次で定義される:
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但し は、次のような のいわゆる分布函数(distribution function)である:
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ここで記号の都合上、 は と定義する。
二つの函数 と が同程度可測(equimeasurable)であるとは、次が成り立つことをいう。
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ここで は実数直線上のルベーグ測度である。関連する対称減少再配分函数は、 と同程度可測であり、実数直線上で次のように定義される。
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これらの定義の下で、 および に対し、ローレンツ準ノルムは次で与えられる。
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ローレンツ空間は、カヴァリエリの原理より任意の に対して が成立する意味で、 空間の真の一般化である。さらに は弱 空間と一致する。それらは準バナッハ空間(すなわち、完備な準ノルム空間)であり、 および に対してノルム付け可能(normable)である。 のとき、 はノルムを備えるが、弱 空間である の準ノルムと同値なノルムを定義することは不可能である。 において三角不等式が成立しない具体例として、次を考える。
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これらの 準ノルムの値は 1 であるが、それらの和 の準ノルムの値は 4 である。
空間 は、 ならばいつでも に含まれる。ローレンツ空間は、 と の間の実補間空間(英語版)である。
関連項目
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参考文献
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- ^ G. Lorentz, "Some new function spaces", Annals of Mathematics 51 (1950), pp. 37-55.
- ^ G. Lorentz, "On the theory of spaces Λ", Pacific Journal of Mathematics 1 (1951), pp. 411-429.
外部リンク
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