一様コーシー列

数学において、ある集合 S から距離空間 M への函数列 $\{f_{n}\}$ が一様コーシー（いちようコーシー、英: uniformly Cauchy）であるとは、次が成立することをいう：

• すべての $\varepsilon >0$ に対して、ある $N>0$ が存在し、$m,n>N$ であるならばすべての $x\in S$ に対して $d(f_{n}(x),f_{m}(x))<\varepsilon$ が成立する。

また別の表現として、$m,n\to \infty$ に対して $d_{u}(f_{n},f_{m})\to 0$ というものがある。ここで $d_{u}$ は二つの函数の間の一様距離で、次のように定義される：

$d_{u}(f,g):=\sup _{x\in S}d(f(x),g(x)).$

収束条件

S から M への函数列 {f_n} が「各点毎に」コーシーであるとは、各 x ∈ S に対して列 {f_n(x)} が M 内のコーシー列であることをいう。これは一様コーシーよりも弱い条件である。

一般に、列は、各点毎にコーシーであっても各点毎に収束するとは限らず、また一様コーシーであっても一様収束するとは限らない。しかし、距離空間 M が完備であるなら、各点毎にコーシーであるような任意の列は、S から M へのある函数に各点毎に収束する。また同様に、任意の一様コーシー列はそのような函数に一様収束する。

一様コーシー性は、S が只の集合ではなく位相空間であり、M が完備距離空間である場合にも頻繁に用いられる。次の定理が成り立つ：

• S を位相空間とし、M を完備距離空間とする。このとき、連続函数 f_n : S → M からなる任意の一様コーシー列は、唯一つの連続函数 f : S → M に一様収束する。

一様空間への一般化

ある集合 S から距離空間 U への函数列 $\{f_{n}\}$ が一様コーシーであるとは、次が成り立つことをいう：

• すべての $x\in S$ と任意の近縁 $\varepsilon$ に対して、ある $N>0$ が存在し、$m,n>N$ であるなら $d(f_{n}(x),f_{m}(x))<\varepsilon$ が常に成り立つ。

関連項目

• 収束の様式