数学において、平坦加群(へいたんかぐん、: flat module)とは、テンソル積をとる関手 M ⊗ –完全となる加群 M のことである。 ホモロジー代数学および代数幾何学における基本的な概念のひとつ。ジャン=ピエール・セールによって導入された[1]


定義

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AM を右 A 加群とする。 A 加群からなる任意の短完全系列

 

に対して、M とのテンソル積をとった系列

 

完全になるとき、MA平坦である、または M は平坦 A 加群であるという。 M が左 A 加群のときも同様に定義される。

なお一般の加群 M に対しては、関手 MA は右完全ゆえ

 

は完全系列となるが、左端のが一般には単射にならない。

A 代数 B平坦であるとは、BA 加群として平坦であることをいう。

性質

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  • 射影加群は平坦である。特に自由加群も平坦である。
  • (推移性) B が平坦 A 代数で、M が平坦 B 加群ならば、MA 加群としても平坦である。
  • (係数拡大) A 加群 M が平坦ならば、任意の A 代数 B に対し、B 加群 MA B も平坦である。
  • AS を環 A積閉集合 S による局所化とすると、ASA 上平坦である。
  • (局所性)上より、A の任意の素イデアル p に対し、Mp = MA Ap は平坦な Ap 加群となる。逆に、任意の p に対し MpAp 上平坦ならば、MA 上平坦である。
  • IA の自明でないイデアルとすると、A/IAS の形に書ける場合を除き、A 加群 A/I は平坦でない。
  • A 加群 M が平坦であることと、任意の A 加群 N に対し TorA
    1
     
    (MN) = 0
    となることとは同値である。

忠実平坦性

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M は平坦な A 加群であるとすると、次に述べる条件は同値である。これらの条件を満たすとき M忠実平坦A 加群であるという。

  • A の任意の極大イデアル m に対し、MmM が成り立つ。
  • 0 → MA N1MA N2MA N3 → 0完全ならば、0 → N1N2N3 → 0 も完全である。
  • 0 でない任意の A 加群 N に対し、MA N ≠ 0 が成り立つ。

A 代数 B に関しても同様に忠実平坦性を定義する。この場合は次も同値である。

  • A の任意の素イデアル p に対し、Aq = p なる B の素イデアル q が存在する。

概型論

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スキームの射 ƒ : XY が平坦であるとは、X のすべての点 x に対し、局所環の射 OY, ƒ(x)OX, x が平坦であることをいう。環における平坦性が局所的性質であることから、アフィンスキームの間の射の平坦性は対応する環の射の平坦性と同値である。

平坦かつ全射である射は忠実平坦であるという。これもアフィンスキームにおいては環での定義と一致する。

平坦分解と平坦次元

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R 上の加群 M に対し、各 R-加群 Fi が平坦加群であるような次の完全列

 

M平坦分解という。自由分解や射影分解は平坦分解である。すべての i > n に対し Fi = 0 であるような平坦分解を長さ n の平坦分解という。そのような n が存在する場合その最小値を M平坦次元といい、存在しない場合は平坦次元は という。平坦次元は fd(M) と書かれる。平坦次元は射影次元を超えない。左 R-加群 M と整数 n ≥ 0 に対して以下は同値[2]

  • fd(M) ≤ n.
  • 任意の右 R-加群 X に対して、 
  • 任意の in + 1 と任意の右 R-加群 X に対して、 

脚注

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  1. ^ ただし、彼はなぜ平坦(flat)という語を用いたか覚えていないと言っている。Why are flat morphisms “flat?””. 2015年9月28日閲覧。
  2. ^ Weibel 1994, Lemma 4.1.10.

参考文献

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  • Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge University Press. ISBN 0-521-43500-5. Zbl 0797.18001. https://books.google.co.jp/books?id=flm-dBXfZ_gC 

関連項目

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