擬軌道尾行性の補題
数学の力学系理論において、擬軌道尾行性の補題（ぎきどうびこうせいのほだい、英: shadowing lemma）とは、ある双曲型不変集合の近くでの擬軌道の挙動に関する補題である。大雑把に言うと、この定理では、すべての擬軌道（各ステップ毎に丸め誤差を含む、数値的に計算された軌道と考えることが出来る[1]）は（わずかに初期値が変動された）ある真の軌道に一様に近い所で留まることが示されている。言い換えると、擬軌道は真の軌道に「尾行される」ということになる。この補題がデジタルカオスに対して利用できないことは、International Journal of Bifurcation and Chaos,[2] Sec. 2.2.3 で示されている。
正式な内容 編集
距離空間 (X, d) からそれ自身への写像 f : X → X が与えられたとき、ε-擬軌道（あるいは ε-軌道）は、 の ε-近傍に が属するような点列 として定義される。
双曲型不変集合の近くで、次が成り立つ[3]：Λ を微分同相 f の双曲型不変集合とする。このとき、次の性質を持つ Λ の近傍 U が存在する：任意の δ > 0 に対して、ある ε > 0 が存在し、U に留まる任意の（有限あるいは無限）ε-擬軌道はある真の軌道の δ-近傍に留まる。すなわち
参考文献 編集
- ^ Weisstein, Eric W. "Shadowing Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
- ^ Shujun Li, Guanrong Chen and Xuanqin Mou (2005). “On the Dynamical Degradation of Digital Piecewise Linear Chaotic Maps”. International Journal of Bifurcation and Chaos 15 (10): 3119–3151. doi:10.1142/S0218127405014052.
- ^ A. Katok, B. Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Theorem 18.1.2.
- Scholarpedia article Shadowing Theorem
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