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{{Redirect|ストレンジアトラクター|[[やなぎなぎ]]の楽曲|エウアル}}
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[[File:Van der Pol stable limit cycle mu=1.svg|thumb|260px|連続時間力学系の[[ファン・デル・ポール方程式]]で現れる周期アトラクター。軌道は各矢印に沿って赤い閉曲線へ引き込まれる。]]
[[力学系]]における'''アトラクター'''（{{Lang-en|attractor|links=no}}）とは、[[時間発展]]する[[軌道 (力学系)|軌道]]を引き付ける性質を持った[[相空間]]上の領域である。力学系において重要なトピックの一つ。引き込まれた後の軌道は、アトラクター内に留まり続ける。アトラクターへ引き込まれる初期値の[[集合]]はベイスンや吸引領域と呼ばれる。
アトラクターは、その構造・性質にもとづき'''点アトラクター'''、'''周期アトラクター'''、'''準周期アトラクター'''、'''ストレンジアトラクター'''の4種類に分類される。点アトラクターはもっとも単純で、周りの軌道を引き寄せる1つの[[点 (数学)|点]]である。周期アトラクターと準周期アトラクターは、連続力学系でいえばそれぞれ[[閉曲線]]と[[トーラス]]の形を成す。ストレンジアトラクターは、[[カオス理論|カオス]]と呼ばれる非周期的軌道から成るアトラクターで、[[バタフライ効果]]として知られる初期値鋭敏性と[[フラクタル]]な幾何学的構造を持つ。
物理的なアトラクターの典型的な例は、[[減衰振動|減衰]]や[[摩擦]]を受けて振動しながら最終的に静止する[[振り子]]で、これは点アトラクターの一種である。実現象で起こるアトラクターを限られた時系列データから再現する手法はアトラクターの再構成として知られ、実現象の力学系的性質の調査や、実物の品物に対する異常検出といった応用研究にも用いられる。
==背景==
[[File:Phase space of a simple pendulum.gif|thumb|340px|摩擦を受ける振り子は十分時間経過後に静止する（左）。その運動を相空間（相平面）上で見ると、運動は1点に収束する軌道を描く（右）。]]
何かの状態の[[時間発展]]が、規則にしたがって[[決定論]]的に一意的に決まっている系を[[力学系]]という{{Sfn|井上・秦|1999|p=5}}。一般に、力学系の振る舞いは「保存的」か「散逸的」かに分類できる{{Sfn|Jackson|1994|p=123}}。物理的な系として[[ばね]]や[[振り子]]の系を考えると、系に[[摩擦]]が無いときは[[力学的エネルギー]]が保存され続けるのに対して、系が摩擦があるときは力学的エネルギーは熱に変わって系から失われる{{Sfn|竹山|1992|p=30}}。前者のような系を[[保存系]]と呼び、後者のような系を[[散逸系]]と呼ぶ{{Sfn|竹山|1992|p=30}}。日常的に観測される実存の系の多くは散逸系といえる{{Sfnm|佐野|2001|1p=65|松本・徳永・宮野・徳田|2002|2p=5}}。物理的な観点から言えば、散逸系はエネルギー的に開放されているのが特徴で、非平衡開放系とも呼ばれる{{Sfn|郡・森田|2011|p=16}}<ref name=北畑・吉川>{{Cite book ja-jp |author = 北畑 裕之・吉川 研一 |editor = 蔵本 由紀 |others = 三村 昌泰（監修）|title = リズム現象の世界 |url = http://www.utp.or.jp/book/b302449.html |chapter = 化学・生物の世界のリズム |publisher = 東京大学出版会 |year = 2002 |edition = 初版 |isbn = 4-13-064091-7 |pages = 1–2 }}</ref>。摩擦がある振り子は、時間が十分経つと静止する{{Sfn|伊東|1993|p=13}}。しかし散逸系であっても、エネルギーが流出すると同時に流入してバランスすると、最終的な運動が静止状態になるとは限らず、安定な[[振動]]状態を取ることもある{{Sfn|郡・森田|2011|p=16}}<ref name=北畑・吉川/>。
力学系の考え方では、対象とする状態を変数の組として表し、それを空間上の1点とみなす{{Sfn|金子|2009|pp=65–67}}。時間発展に従って動く空間上の点の軌跡は[[軌道 (力学系)|軌道]]と呼ばれ、状態の時間変化を表している{{Sfn|井上・秦|1999|p=65}}。状態の集まりである空間は[[相空間]]や[[状態空間]]と呼ばれる{{Sfn|徳永|1990|p=66}}。散逸系とは、数学的には、相空間上に[[体積要素]]を取ったときにその要素の[[体積]]が時間発展にともなって減少していく系を指す（ここでの体積とは3次元以上2次元以下を含む一般化された体積、特記無い限り以下同じ）{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=20}}。散逸系では、相空間上の軌道がある一定の領域（状態の集まり）へ引き付けられる現象が存在する{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=102}}。このような領域をアトラクターと呼ぶ{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=102}}。一方の保存系では、アトラクターは存在しない{{Sfn|竹山|1992|p=39}}。
アトラクターが存在するとき、ある程度の時間経過後に系の状態はそのアトラクターにほとんど引き込まれるため、アトラクター上での振る舞いが実質的に系の長期的な振る舞いを支配しているといえる{{Sfn|井上・秦|1999|p=68}}。また、何かの乱れが系に加わったとしても、乱れがさほど大きくなければ、やはり状態はアトラクターへ引き込まれる{{Sfnm|郡・森田|2011|1p=16|グリック|1991|2p=241}}。したがって、散逸系の振る舞いを理解するためには、系のアトラクターとアトラクター周辺の性質を調べることが重要となる{{Sfn|郡・森田|2011|p=16–17}}。力学系において、アトラクターを理解することは重要な鍵となる<ref name="青木"/>。特に、後述の[[#ストレンジアトラクター|ストレンジアトラクター]]が具体的な微分方程式の数値実験で現れることが確認されて以降、力学系理論への注目が高まり、多くの研究が行われるに至った{{Sfn|久保・矢野|2018|p=308}}。
==定義と一般的性質==
===吸引集合、アトラクター===
[[File:Diagram of attractor and basin.svg|thumb|300px|相空間（'''R'''<sup>''n''</sup>）上のアトラクター ('''''A''''') とベイスン ('''''B''''') の概念図]]
アトラクター（{{Lang-en|attractor|links=no}}）とは、「引き付ける」を意味する英語単語 [[wikt:attract|attract]] から出来た言葉で{{Sfn|合原|1993|p=70}}、大雑把にいえばアトラクターとは、その周りの[[軌道 (力学系)|軌道]]を引き付けるような性質をもった領域である{{Sfn|Hirsch, Smale & Devaney|2007|p=316}}。さらに、軌道がそのような領域まで引き付けられた後は、軌道はその領域内に留まり続ける{{Sfnm|井上・秦|1999|1p=21|合原・黒崎・高橋|1999|2p=228}}。
アトラクターの厳密な定義については議論が残っており、広く共有された統一的な数学的定義は今のところ存在していない{{Sfnm|Strogatz|2015|1p=353|Hirsch, Smale & Devaney|2007|2p=317|郡・森田|2011|3p=74}}。ここでは、まずは {{Harv|ウィギンス|2013}} に沿った定義を以下に述べる。[[力学系]]の[[相空間]]を {{Math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} とし、相空間上の点（状態変数）を {{Mvar|'''x'''}} とする。連続力学系を定める[[ベクトル場]]の[[ベクトル場#流れ|流れ]]を {{Math|''φ''(''t'', '''''x'''''): '''R''' × '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup>}} で表すとする。離散力学系を定める[[写像]] の {{Mvar|k}} 回[[反復合成写像|繰り返し適用]]を {{Math|''f''<sup> ''k''</sup>('''''x'''''): '''Z''' × '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup>}} で表すとする。[[部分集合]] {{Math|''A'' ⊂ '''R'''<sup>''n''</sup>}} が以下を満たすとき、{{Mvar|A}} を'''吸引集合'''と呼ぶ{{Sfn|ウィギンス|2013|p=45}}。
*連続力学系の場合：
**{{Mvar|A}} は[[閉不変集合]]、すなわち全ての {{Math|'''''x''''' ∈ ''A''}} と {{Math|''t'' ∈ '''R'''}} について {{Math|''φ''(''t'', '''''x''''') ∈ ''A''}} である。
**{{Mvar|A}} にある[[近傍 (位相空間論)|近傍]] {{Mvar|B}} が存在し、全ての {{Math|'''''x''''' ∈ ''B''}} と {{Math|''t'' ∈ '''R'''<sup>+</sup>}} について {{Math|''φ''(''t'', '''''x''''') ∈ ''B''}} である。
**全ての {{Math|'''''x''''' ∈ ''B''}} について、{{Math|''t'' → ∞}} のとき {{Math|''φ''(''t'', '''''x''''') → ''A''}} である。
*離散力学系の場合：
**{{Mvar|A}} は閉不変集合、すなわち全ての {{Math|'''''x''''' ∈ ''A''}} と {{Math|''k'' ∈ '''Z'''}} について {{Math|''f''<sup> ''k''</sup>('''''x''''') ∈ ''A''}} である。
**{{Mvar|A}} にある近傍 {{Mvar|B}} が存在し、全ての {{Math|'''''x''''' ∈ ''B''}} と {{Math|''k'' ∈ '''Z'''<sup>+</sup>}} について {{Math|''f''<sup> ''k''</sup>('''''x''''') ∈ ''B''}} である。
**全ての {{Math|'''''x''''' ∈ ''B''}} について、{{Math|''k'' → ∞}} のとき {{Math|''f''<sup> ''k''</sup>('''''x''''') → ''A''}} である。
さらに、吸引集合と流れの組 {{Math|(''A'', ''φ'')}} あるいは吸引集合と写像の組 {{Math|(''A'', ''f'')}} が以下のように[[位相的推移性]]を満たすとき、{{Mvar|A}} を'''アトラクター'''と呼ぶ{{Sfn|ウィギンス|2013|p=47}}。
*連続力学系の場合：
**{{Mvar|A}} の任意の部分[[開集合]] {{Mvar|U}}, {{Mvar|V}} に対し、全ての {{Math|'''''x''''' ∈ ''U''}} が {{Math|''φ''(''t'', '''''x''''') ∈ ''V''}} を満たす {{Math|''t'' ∈ '''R'''}} が存在する。
*離散力学系の場合：
**{{Mvar|A}} の任意の部分開集合 {{Mvar|U}}, {{Mvar|V}} に対し、全ての {{Math|'''''x''''' ∈ ''U''}} が {{Math|''f''<sup> ''k''</sup>('''''x''''') ∈ ''V''}} を満たす {{Math|''k'' ∈ '''Z'''}} が存在する。
力学系の位相的推移性あるいは推移性とは、簡単に言えば、軌道がその領域内をくまなく動き回ることを意味する{{Sfn|グーリック|1995|p=87}}。{{Harv|松葉|2011}}、{{Harv|Hirsch, Smale & Devaney|2007}}、{{Harv|久保・矢野|2018}} も 位相的推移性をアトラクターの条件として挙げている{{Sfnm|松葉|2011|1pp=116,120|Hirsch, Smale & Devaney|2007|2p=316|久保・矢野|2018|3p=197}}。{{Harv|小室|2005}} でも[[稠密集合|稠密]]な軌道の存在という形でアトラクターを定義付けている{{Sfn|小室|2005|p=112}}。{{Harv|Strogatz|2015}} や {{Harv|Falconer|2006}} では、位相的推移性の代わりに {{Mvar|A}} が[[不変集合|極小集合]]であること、すなわち {{Mvar|A}} の全ての真部分集合が吸引集合の条件を満たさないことをアトラクターの定義としている{{Sfnm|Strogatz|2015|1p=353|Falconer|2006|2pp=234, 253}}。
[[File:位相推移的でないアトラクタ.svg|thumb|350px|{{math2|''ẋ'' {{=}} ''x'' − ''x''<sup>3</sup>, ''ẏ'' {{=}} −''y''}} による2次元ベクトル場の例。赤い線分の範囲 {{Math|(''x'' {{=}} [−1, 1], ''y'' {{=}} 0)}} は吸引集合だがアトラクター（位相的推移的）ではない。]]
いずれにしても、吸引集合にさらに位相的推移性や極小の条件を課す理由は、認定したアトラクターが実は独立したアトラクターの集まりであり、実際にはさらに細かく分けられるような事態を避けたいという動機による{{Sfnm|Devaney|2003|1p=179|Strogatz|2015|2p=354|Hirsch, Smale & Devaney|2007|3p=317}}。吸引集合の条件だけでは、軌道が最終的にどこに落ち着くのか曖昧だという欠点がある{{Sfnm|ウィギンス|2013|1p=47|松葉|2011|2p=119}}。この点を説明する例として良く出されるのが次の {{Math|'''''x''''' {{=}} (''x'', ''y'')<sup>⊤</sup>}} の2次元ベクトル場である{{Sfnm|ウィギンス|2013|1pp=46–47|Strogatz|2015|2pp=353–354|松葉|2011|3pp=119|Hirsch, Smale & Devaney|2007|4p=317}}。
:<math>\dot{x} = x - x^3 </math>
:<math>\dot{y} = -y </math>
ここで、上付きの · は[[時間微分]] ({{Math|''d/dt''}}) を意味する。このベクトル場の {{Math|''xy''-}}相平面の {{Math|(''x'' {{=}} [−1, 1], ''y'' {{=}} 0)}} という線分状の集合を {{Mvar|A}} とする。{{Mvar|A}} を囲む長方形や楕円のような適当な近傍を取れば、近傍内の点は全て {{Mvar|A}} に収束する{{Sfnm|ウィギンス|2013|1p=47|松葉|2011|2p=119}}。また、{{Mvar|A}} 上の点が {{Mvar|A}} から出ることはない{{Sfn|Strogatz|2015|p=354}}。よって、{{Mvar|A}} は吸引集合である{{Sfnm|ウィギンス|2013|1p=47|松葉|2011|2p=119}}。しかし、{{Mvar|y}} 軸を除く相平面上の[[ほとんど (数学)|ほとんど全て]]の点は、{{Math|(''x'', ''y'') {{=}} (−1, 0)}} または {{Math|(1, 0)}} のどちらかのみに収束する{{Sfnm|ウィギンス|2013|1p=47|松葉|2011|2p=119}}。この例であれば {{Math|(''x'' {{=}} [−1, 1], ''y'' {{=}} 0)}} をアトラクターとは考えたくない、{{Math|(−1, 0)}} と {{Math|(1, 0)}} にアトラクターが2つあると考えたい、それが位相的推移性をアトラクターの定義に課す動機である{{Sfnm|ウィギンス|2013|1p=47|Hirsch, Smale & Devaney|2007|2p=317}}。
一方で、{{Harv|Devaney|2003}}、{{Harv|グーリック|1995}}、{{Harv|郡・森田|2011}}、{{Harv|松本・徳永・宮野・徳田|2002}} などは位相的推移性を課さない条件の集合、すなわち上記における吸引集合のことをアトラクターの定義としている{{Sfnm|Devaney|2003|1p=179|グーリック|1995|2pp=180–181|郡・森田|2011|3p=74|松本・徳永・宮野・徳田|2002|4p=5}}。このように上記定義における「吸引集合（位相的推移性を満たさない集合 {{Mvar|A}}）」をアトラクターと呼ぶときは、上記定義における「アトラクター（位相的推移性を満たす集合 {{Mvar|A}}）」を'''推移的アトラクター'''と呼んだりもする{{Sfnm|Devaney|2003|1p=180|松葉|2011|2p=120|Hirsch, Smale & Devaney|2007|3p=317}}
力学系が体積要素が縮小する性質を持つとき、その力学系を[[散逸系]]といった{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=5}}。散逸系上にはアトラクターが存在し、散逸系上の全ての軌道はアトラクターへ引き付けられる{{Sfnm|井上・秦|1999|pp=67–68|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=102}}。散逸系の性質から導かれる必然として、あるいはアトラクターに課す定義として、アトラクターの体積は一般的に 0 となる{{Sfnm|井上・秦|1999|pp=67–68|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=102}}。すなわち、{{Math|'''R'''<sup>3</sup>}} 相空間上のアトラクターの（通常の意味での）体積は 0 であり、{{Math|'''R'''<sup>2</sup>}} 相空間上のアトラクターの面積は 0 である{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=20}}。これらの帰結として、アトラクターの次元 {{Mvar|d}} は相空間の次元 {{Mvar|n}} よりも常に小さく、{{Math|''d'' < ''n''}} の関係にある{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=105}}。さらに体積縮小の結果、アトラクターに引き込まれる軌道の初期値の情報は失われることなる{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=104}}。つまり、アトラクターに引き込まれた後の点から、時間を逆にたどってその点の初期値を知ることは不可能となる{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=104}}。また、アトラクターに一旦引き込まれた軌道は、以降アトラクターから出ることはない{{Sfnm|井上・秦|1999|1p=21|合原・黒崎・高橋|1999|2p=228}}。これは、アトラクターが[[不変集合]]として定義されることへ対応する{{Sfn|合原・黒崎・高橋|1999|p=228}}。
===ベイスン、過渡状態、トラッピング領域、リペラー===
[[File:左半面と右半面のベイスン.png|thumb|350px|{{math2|''ẋ'' {{=}} ''x'' − ''x''<sup>3</sup>, ''ẏ'' {{=}} −''y''}} による2次元ベクトル場のベイスン。安定多様体の {{Mvar|y-}}軸を除いて、左半面の初期値は {{Math|(−1, 0)}} へ、右半面の初期値は {{Math|(1, 0)}} へ吸引される。]]
あるアトラクターに引き付けられる全ての初期値の集合を'''ベイスン'''（{{Lang-en|basin of attraction|links=no}} または単に {{Lang|en|basin}}、表記揺れで'''ベイスィン'''、'''ベイシン'''とも）と呼ぶ{{Sfnm|郡・森田|2011|1p=17|合原・黒崎・高橋|1999|2p=228|徳永|1990|3p=105|早間|2002|4p=94|松本・徳永・宮野・徳田|2002|5p=6|竹山|1992|7p=27|金子|2009|8p=69|井上・秦|1999|p=61}}<ref name="井庭・福原"/>。他には、'''吸引域'''{{Sfnm|Thompson & Stewart|1988|1p=11|早間|2002|2p=84|Falconer|2006|3p=234}}、'''吸引領域'''{{Sfnm|Strogatz|2015|1p=353|松葉|2011|2p=117|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012a|3p=142}}という呼び方があり、'''引力圏'''{{Sfnm|上田|2008|1p=7|伊東|1993|2p=146}}、'''吸引圏'''{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=93}}、'''吸引の鉢'''{{Sfn|Jackson|1994|p=303}}といった表現もある。英語の [[wikt:basin|basin]] には[[鉢]]の意味があり、鉢の中に置かれた物が鉢の底へ向かって転がっていくイメージから命名されたと推測される{{Sfn|合原・黒崎・高橋|1999|p=228}}。
数学的には、アトラクターの定義に出てくる近傍 {{Mvar|B}} の内、様々な大きさが取り得る中で最大の {{Mvar|B}} がベイスンである{{Sfn|Strogatz|2015|p=353}}。あるアトラクターに対するベイスンは、そのアトラクター自体も含んでいる{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=104}}。また、アトラクターは散逸系の特性から体積が 0 だが、ベイスンの体積は 0 ではない{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=94}}。言い換えると、アトラクターに引き込まれる初期値の集合の[[測度]]は 0 ではない値を持つ{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012b|pp=47–48}}。このことと[[極限集合]]の概念を使い、アトラクターを非零の測度の初期値を引き込む {{Mvar|ω}} 極限集合と定義する流儀もある{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012b|p=47}}。
ベイスンからアトラクターに引き込まれるまでの系の振る舞いを'''過渡状態'''{{Sfn|合原|1993|p=70}}、'''過渡運動'''{{Sfn|井上・秦|1999|p=68}}、'''トランジェント'''（{{Lang-en|transient|links=no}}）{{Sfnm|合原・黒崎・高橋|1999|1p=229|徳永|1990|2p=70}}などと呼ぶ。定義上は時間が無限に過ぎたときに軌道はアトラクターに引き込まれることになっているが、アトラクター周囲に達した後は軌道はアトラクター上と同じ振る舞いをするので、有限時間でアトラクターに引き込まれたと見なして実際上の問題はさほど起きない{{Sfnm|井上・秦|1999|1p=68|竹山|1992|2p=39}}。
また、アトラクターないし吸引集合と関連して'''トラッピング領域'''（{{Lang-en|trapping region|links=no}}）{{Sfnm|松本・徳永・宮野・徳田|2002|1p=5|Strogatz|2015|2p=223|徳永|1990|3p=91}}、'''捕捉領域'''{{Sfnm|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012b|1p=54|Devaney|2003|2p=179}}、'''閉じこめ領域'''{{Sfn|ウィギンス|2013|p=45}}などと呼ばれる相空間上の領域もある。これは、全ての前方軌道がそこから出ることがない領域を意味する{{Sfnm|Strogatz|2015|1pp=223–224|Devaney|2003|2pp=178–179}}。具体的には、トラッピング領域 {{Mvar|R}} とは次の条件を満たす有界閉集合である{{Sfnm|Devaney|2003|1p=179|ウィギンス|2013|2p=45}}。
*連続力学系の場合：
**任意の {{Math|''t'' ≥ 0}} について、{{Math|''φ''(''t'', ''R'') ⊂ ''R''}} となる。
*離散力学系の場合：
**{{Math|''f''(''R'') ⊂ ''R''}} となる。
連続力学系のトラッピング領域は、{{Mvar|R}} の[[境界 (位相空間論)|境界]]のどの点においてもベクトル場が {{Mvar|R}} の内へ向いていることと同等である{{Sfnm|ウィギンス|2013|1p=45|Strogatz|2015|2p=224}}。トラッピング領域 {{Mvar|R}} を用いて吸引集合 {{Mvar|A}} を次のようにも定義できる{{Sfnm|ウィギンス|2013|1p=45|Strogatz|2015|2p=224}}。
*連続力学系の場合：
*:<math> A = \bigcap_{t > 0} \phi (t, R) </math>
*離散力学系の場合：
*:<math> A = \bigcap_{k \ge 0} f^k (R) </math>
その他の概念として、'''リペラー'''（{{Lang-en|repeller|links=no}}）がある{{Sfnm|Falconer|2006|1p=234|松本・徳永・宮野・徳田|2002|2p=6|徳永|1990|3p=74}}。これは、時間を反転させたときに吸引的になる解を指す{{Sfn|徳永|1990|p=74}}。離散力学系 {{Math|''f''}} でいえば、[[逆写像]] {{Math|''f''<sup>−1</sup>}} のアトラクターが {{Math|''f''}} のリペラーであると定義できる{{Sfnm|Falconer|2006|1p=234|松本・徳永・宮野・徳田|2002|2p=6}}。不安定な性質を持ち軌道が離れていく[[不動点]]や[[平衡点]]が、リペラーの例である{{Sfnm|Devaney|2003|1p=23|竹山|1992|2p=25}}。
==分類==
===点アトラクター===
[[File:エノン写像の点アトラクター.png|thumb|400px|{{Math2|(''a'', ''b'') {{=}} (0.2, 0.3)}} の[[エノン写像]]における点アトラクターの例。左図は {{Mvar|x}} と {{Mvar|y}} の時系列変化を、右図は {{Mvar|x}} と {{Mvar|y}} が {{Mvar|xy-}}平面で最終的に引き込まれる点を示す。]]
相空間上の1つの[[点 (数学)|点]]へ収束するアトラクターを、'''点アトラクター'''（{{Lang-en|point attractor|links=no}}）という{{Sfnm|伊東|1993|1pp=13–15|合原|1993|2p=72|小室|2005|3p=45}}<ref name="井庭・福原">{{Cite book ja-jp |author = 井庭 崇・福原 義久 |year = 1998 |title = 複雑系入門 ―知のフロンティアへの冒険 |url = https://www.nttpub.co.jp/search/books/detail/100000834.html |publisher = NTT出版 |edition = 初版 |isbn = 4-87188-560-7 }} p. 69</ref>。これは、アトラクターの中でもっとも単純なものといえる{{Sfnm|上田|2008|1p=27|金子|2009|2p=67}}。点アトラクターという呼び方の他に、'''静止アトラクター'''{{Sfn|上田|2008|p=45}}<ref name="井庭・福原"/>、'''ポイントアトラクター'''{{Sfn|Thompson & Stewart|1988|p=iii}}<ref name="郷原"/>、'''固定点アトラクター'''{{Sfn|金子|2009|p=68}}<ref>{{Cite book ja-jp |author = リチャード・エルウィス |translator = 宮本 寿代 |year = 2016 |title = マスペディア1000 |url = https://d21.co.jp/book/detail/978-4-7993-2020-4 |publisher = ディスカヴァー・トゥエンティワン |isbn = 978-4-7993-2020-4 }} p. 344</ref>、'''平衡点アトラクター'''{{Sfn|上田|2008|p=45}}<ref>{{Cite journal ja-jp |author = 徳永 隆治 |year = 1992 |title = 応用で学ぶカオスとフラクタルの基礎 |journal = 電気学会論文誌Ｄ（産業応用部門誌） |volume = 112 |issue = 8 |publisher = 電気学会 |doi = 10.1541/ieejias.112.686 |page = 687 }}</ref>、'''不動点アトラクター'''{{Sfn|合原・黒崎・高橋|1999|p=228}}といった言い方もある。
[[固定点]]とは、時間変化しても相空間上で動かない点のことで{{Sfn|Strogatz|2015|pp=161, 382}}、連続力学系では[[平衡点]]、離散力学系では[[不動点]]とも呼び分けることもある{{Sfn|松葉|2011|p=32}}。近傍の軌道を引き付ける性質を持つ固定点を[[漸近安定]]であるといったり、吸引的であるという{{Sfnm|久保・矢野|2018|1p=192|Thompson & Stewart|1988|2p=109|グーリック|1995|3pp=9}}。点アトラクターとは、言い換えれば漸近安定な固定点のことである{{Sfn|上田|2008|p=45}}。ただし、点アトラクターを指して単に'''固定点'''{{Sfn|佐野|2001|p=85}}、'''平衡点'''{{Sfn|合原（編）|2000|p=15}}<ref name="井庭・福原"/>、'''不動点'''{{Sfn|グリック|1991|p=232}}ということもある。
:<math>x_{n+1} = 1 - a x_{n}^2n + y_{n} </math>
:<math>y_{n+1} = b x_n </math>
ここで、{{Mvar|a}} と {{Mvar|b}} は時間変化しない[[定数]]（パラメータ）である。エノン写像は、{{仮リンク|ミシェル・エノン|fr|Michel Hénon}}が後述する[[ローレンツ方程式|ローレンツアトラクター]]のメカニズムを研究するために導入された力学系である{{Sfn|グリック|1991|pp=260–262}}。エノン写像の振る舞いは {{Mvar|a}} と {{Mvar|b}} の値によってさまざまな様相を示すが、{{Math|''b'' {{=}} 0.3}} かつ {{Math|−0.1225 < ''a'' < 0.3675}} のとき、吸引的不動点すなわち点アトラクターが存在する{{Sfn|グーリック|1995|pp=153–154}}。
[[File:Phase plane of damped pendulum.svg|thumb|230px|減衰振り子の点アトラクター。赤、青、緑の異なる初期値から出発した軌道が全て原点に収束する。]]
点アトラクターの物理的な典型例は、減衰を受ける[[振り子]]である{{Sfnm|伊東|1993|1p=13|Thompson & Stewart|1988|2p=iii}}。[[空気抵抗]]などの減衰を受けるとき、振り子は動きながらエネルギーを失い、最終的には静止する{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012b|p=124}}。振り子が速度に比例した減衰力を受けるとする。このとき、振り子の運動は次の2次元微分方程式系で表される{{Sfn|グーリック|1995|p=244}}。
:<math>\dot{x} = y </math>
:<math>\dot{y} = - \frac{g}{l} \sin x - \frac{c}{ml}y </math>
ここで、{{Mvar|x}} は振り子の[[角度]]、{{Mvar|y}} は振り子の[[角速度]]、{{Mvar|g}} は[[重力加速度]]、{{Mvar|l}} は振り子の支点から重りまでの長さ、{{Mvar|m}} は重りの質量、{{Mvar|c}} は減衰係数である{{Sfn|グーリック|1995|p=244}}。{{Mvar|g}} と {{Mvar|l}} は正の定数であり、さらに {{Math|''c''}} も正の定数とする{{Sfn|グーリック|1995|p=245}}。このとき、{{Math|(''x'', ''y'') {{=}} (''π'', 0)}}（ちょうど真上で倒立した状態）の条件を除き、全ての運動は{{Math|(''x'', ''y'') {{=}} (0, 0)}}（真下で停止した状態）に収束する{{Sfnm|グーリック|1995|1p=245|Thompson & Stewart|1988|2p=44}}。
微分方程式に[[独立変数]] {{Mvar|t}} を陽に含まない系を[[自励系|自励的]]という{{Sfn|小室|2005|p=17}}。{{Math|'''R'''}} 上の自励的な1次元連続力学系で存在可能なアトラクターは、点アトラクターのみである{{Sfnm|Strogatz|2015|1pp=32–33|伊東|1993|2p=80}}。一方の離散力学系では軌道が連続的であるという制限がないので、1次元写像の段階から点アトラクター以外の種類のアトラクターが許容される{{Sfnm|Strogatz|2015|1pp=380–381|Jackson|1994|2p=124}}。
===周期アトラクター===
[[File:Limit cycle of Brusselator.svg|thumb|x260px|[[ブラッセレーター|ブラッセレーター方程式]]で現れる周期アトラクター。赤、青、緑の異なる初期値から出発した軌道が、1つの[[閉曲線]]に巻きつく。]]
[[File:エノン写像の周期アトラクター.png|thumb|400px|{{Math2|(''a'', ''b'') {{=}} (1, 0.3)}} の[[エノン写像]]における4周期アトラクター]]
相空間上の[[軌道 (力学系)#特殊な軌道|周期軌道]]に収束するタイプのアトラクターを、'''周期アトラクター'''（{{Lang-en|periodic attractor|links=no}}）{{Sfnm|徳永|1990|p=70|小室|2005|2p=45}}<ref name="井庭・福原"/>や'''周期的アトラクター'''{{Sfn|Thompson & Stewart|1988|p=iii}}<ref name="郷原"/>という。
連続力学系では、周期軌道とは相空間上の1本の[[単純閉曲線]]であり、解はその線を沿って動き続ける{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012b|p=149}}。つまり、ある時間経過ごとに元の状態に戻る周期的な振る舞いを示す{{Sfn|松葉|2011|p=32}}。近傍の軌道が引き付けられる漸近安定な閉曲線と、近傍の軌道が離れていく漸近不安定な閉曲線を、合わせて[[リミットサイクル]]と呼ぶ{{Sfn|郡・森田|2011|p=17}}。漸近安定なリミットサイクルが周期アトラクターに対応する{{Sfn|上田|2008|p=45}}。ただし、周期アトラクターを指して単に'''リミットサイクル'''と呼ぶこともある{{Sfnm|合原（編）|2000|1p=15|伊東|1993|2p=14–15|小室|2005|3p=45}}<ref name="井庭・福原"/>。自励的連続力学系では、周期アトラクターは2次元以上の相空間で存在する{{Sfnm|Strogatz|2015|1pp=12–13|伊東|1993|2p=80}}。
連続力学系の周期アトラクターが現れる例として、次の[[ブラッセレーター|ブラッセレーター方程式]]がある{{Sfnm|Jackson|1994|1pp=288, 299|郡・森田|2011|2pp=20–22}}。
:<math>\dot{x} = a + x^2 y - (1+b)x </math>
:<math>\dot{y} = bx -x^2 y </math>
ブラッセレーターは[[イリヤ・プリゴジン]]らが導入した[[化学振動反応]]のモデルで、{{Mvar|x}} と {{Mvar|y}} は時間変化する分子濃度を表す{{Sfnm|Jackson|1994|1pp=288, 299|郡・森田|2011|2pp=20–22}}。代表的な化学振動反応である[[ベロウソフ・ジャボチンスキー反応]]では、条件によっては反応物質濃度の安定なリミットサイクル振動が起きることが知られている<ref>{{Cite journal ja-jp |author = 蔵本 由紀 |year = 1990 |title = 物理化学系におけるパターンダイナミクスの数理 ―ギンツブルグ・ランダウ模型をめぐって |journal = 計測と制御 |volume = 29 |issue = 10 |publisher = 計測自動制御学会 |doi = 10.11499/sicejl1962.29.905 |page = 909 }}</ref>。ブラッセレーターの{{Mvar|a}} と {{Mvar|b}} も分子濃度を表すが、ここでは定常状態にあり、パラメータだとする{{Sfn|郡・森田|2011|p=21}}。{{Math|(''a'', ''b'') {{=}} (1.0, 2.2)}} のとき、ブラッセレーターの軌道が相平面上で閉曲線に接近していくのが観察できる{{Sfn|郡・森田|2011|p=22}}。
離散力学系の場合、写像を[[反復合成写像|繰り返し合成]]したときにある繰り返し数で元の状態に戻るような点列が周期軌道である{{Sfn|Hirsch, Smale & Devaney|2007|p=338}}。周期が {{Mvar|T}} だとすると、{{Math2|(''x''<sub>0</sub>, ''f''(''x''<sub>0</sub>), ''f''<sup> 2</sup>(''x''<sub>0</sub>), …, ''f''<sup> ''T''−1</sup>(''x''<sub>0</sub>))}} という点列が繰り返されるのが離散力学系の周期軌道である{{Sfn|グーリック|1995|p=16}}。この周期軌道の各要素は[[周期点]]と呼ばれる{{Sfn|徳永|1990|p=74}}。漸近安定な周期軌道あるいは漸近安定な周期点が、離散力学系の周期アトラクターである{{Sfn|徳永|1990|p=74}}<ref name="青木">{{Cite book ja-jp |author = 青木 統夫 |title = 力学系・カオス ―非線形現象の幾何学的構成 |url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320033405 |year = 1996 |edition = 初版 |publisher = 共立出版 |isbn = 4-320-03340-X }} p. 2</ref>。エノン写像の例では、パラメータが {{Math2|(''a'', ''b'') {{=}} (1, 0.3)}} のときに周期 4 の漸近安定な周期軌道が存在する{{Sfn|小室|2005|pp=125–126}}。
===準周期アトラクター===
[[File:Quasi-periodic attractor of Langford equation.png|thumb|330px|ラングフォード方程式で現れる準周期アトラクター。赤、青、緑の異なる初期値から出発した軌道が、ドーナツ形の2次元[[トーラス]]に引き込まれる。]]
[[File:A quasi-periodic attractor of discrete time dynamical system.png|thumb|300px|[[エノン写像]]に一見類似の{{Math2|''x''<sub>''n''+1</sub> {{=}} 1 − ''ay''<sub>''n''</sub> + ''bx''<sub>''n''</sub>, ''y''<sub>''n''+1</sub> {{=}} ''x''<sub>''n''</sub>}} の離散力学系で現れる準周期アトラクター。赤と青の軌道は黒点が連なってできる準周期軌道に引き込まれる。]]
相空間上の[[準周期軌道]]に収束するタイプのアトラクターを、'''準周期アトラクター'''（{{Lang-en|quasi-periodic attractor|links=no}}）{{Sfnm|徳永|1990|1p=71|小室|2005|2p=45}}<ref name="井庭・福原"/>や'''概周期アトラクター'''<ref name="郷原">{{Cite journal ja-jp |author = 郷原 一寿 |year = 1996 |title = ダイナミカルシステムとしての生物 |journal = BME |volume = 10 |issue = 4 |publisher = 日本生体医工学会 |doi = 10.11239/jsmbe1987.10.4_3 |pages = 5–6 }}</ref><ref name="井庭・福原"/>という。
連続力学系では、準周期軌道とは相空間上の[[トーラス]]表面に巻きつく非閉曲線である{{Sfn|竹山|1992|p=44}}。これは[[振動数]]比が[[無理数]]の関係にある振動同士が重ね合わさって起きる振る舞いで、振動同士の重ね合わせとして表現できるが、周期軌道とは異なって同じ状態に戻ることはないのが特徴である<ref>{{Cite book ja-jp |author = J.ブリッグス・F.D.ピート |title = 鏡の伝説 ―カオス・フラクタル理論が自然を見る目を変えた |translator = 高安 秀樹・高安 美佐子 |publisher = ダイヤモンド社 |edition = 初版 |year = 1991 |isbn = 4-478-83005-3 }} pp. 42–43</ref>。準周期軌道はトーラス上を[[稠密集合|稠密]]に覆いつくし、ある点を通る準周期軌道はいくらでもその点の近くに戻って来る{{Sfn|Hirsch, Smale & Devaney|2007|p=122}}。準周期アトラクターを指して単に'''トーラス'''と呼ぶこともある{{Sfnm|合原（編）|2000|1p=15|伊東|1993|2pp=14–15}}。自励的連続力学系では、周期アトラクターは3次元以上の相空間で存在する{{Sfnm|徳永|1990|1p=70|伊東|1993|2p=15}}。
連続力学系で準周期アトラクターが現れる例として、ウィリアム・ラングフォードがトーラスからカオスへの分岐を研究するために用いた次のラングフォード方程式が挙げられる{{Sfnm|合原（編）|2000|1p=50|徳永|1990|2pp=70–71}}。
:<math>\dot{x} = (z - \beta)x - \omega y </math>
:<math>\dot{y} = \omega x + (z - \beta)y </math>
:<math>\dot{z} = \lambda + \alpha z - \frac{z^3}{3} - (x^2+y^2)(1 + \rho z) + \epsilon z x^3 </math>
パラメータが {{Math2|(''α'', ''β'', ''λ'', ''ω'', ''ρ'', ''ε'') {{=}} (1, 0.7, 0.6, 3.5, 0.25, 0)}} のとき、近傍の軌道がドーナツの形をした2次元トーラスに収束し、その上を閉じることなく回り続けることが観察できる{{Sfn|徳永|1990|pp=70–71}}。
離散力学系の準周期軌道は、[[閉包 (位相空間論)|閉包]]を取ると[[円 (数学)|円]]に[[同相]]で、なおかつその閉包上で写像が[[単調写像|単調]]である軌道として定義される{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=2}}。離散力学系の準周期アトラクターの例として、エノン写像に式はよく似ているが振る舞いは異なる次の写像がある<ref name="Elhadj">{{Cite journal |author = Zeraoulia Elhadj and J. C. Sprott |year = 2008 |title = A Minimal 2-d Quadratic Map With Quasi-periodic Route to Chaos |journal = International Journal of Bifurcation and Chaos |volume = 18 |issue = 5 |publisher = World Scientific Publishing Company |doi = 10.1142/S021812740802118X |issn = 0218-1274 |pages = 1567, 1570 }}</ref>。
:<math>x_{n+1} = 1 - a y_{n}^2n + x_{n} </math>
:<math>y_{n+1} = b x_n </math>
この写像は、第1式右辺の {{Mvar|x}} と {{Mvar|y}} がエノン写像とちょうど逆になっている。この系もカオスへの分岐を研究するために提案されたもので、例えばパラメータ {{Math|(''a'', ''b'') {{=}} (1, 0.17)}} で準周期アトラクターが現れる<ref name="Elhadj"/>。
===ストレンジアトラクター===
[[File:Lorenz attractor and its transients.png|thumb|340px|{{Math2|(''σ'', ''r'', ''b'') {{=}} (10, 28, 8/3)}} の[[ローレンツ方程式]]で現れるストレンジアトラクター。赤、青、緑の異なる初期値から出発した軌道が、「チョウの1対の羽」{{Sfn|Strogatz|2015|p=348}}のような形をしたアトラクターに引き付けられる。]]
複雑な構造を持ち、軌道がカオスとなるタイプのアトラクターを、'''ストレンジアトラクター'''（{{Lang-en|strange attractor|links=no}}）という{{Sfn|井上・秦|1999|p=7}}。この命名は[[ダヴィッド・ルエール|デービット・リュエル]]と{{仮リンク|フロリス・ターケンス|en|Floris Takens}}による{{Sfn|グリック|1991|p=231}}。他には、'''カオスアトラクター'''{{Sfnm|Thompson & Stewart|1988|1p=27|小室|2005|2p=45}}、'''カオティックアトラクター'''{{Sfn|徳永|1990|p=72}}、'''カオス的アトラクター'''{{Sfnm|徳永|1990|1p=72|Strogatz|2015|2p=355}}、'''奇妙なアトラクター'''<ref>{{Cite book ja-jp |author = 下條 隆嗣 |title = カオス力学入門 ―古典力学からカオス力学へ |url = https://www.kindaikagaku.co.jp/physics/kd2005.htm |series = シミュレーション物理学6 |publisher = 近代科学社 |year = 1992 |edition = 初版 |isbn = 4-7649-2005-0}} pp. 96, 98</ref><ref>{{Cite book ja-jp |author = 船越 満明 |title = カオス | url = http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11613-7/ |series = シリーズ 非線形科学入門3 |publisher = 朝倉書店 |year = 2008 |edition = 初版 |isbn = 978-4-254-11613-7 }} p. 148</ref>、'''フラクタルアトラクター'''{{Sfnm|Falconer|2006|1p=235|Strogatz|2015|2p=355}}といった呼び方もある。
力学系における[[カオス理論|カオス]]とは、大雑把に言えば、決定論的に確定した規則に従って生み出される複雑・不規則・不安定な振る舞いを指す{{Sfn|合原|1993|p=17}}。カオスの厳密な定義は専門家間でも微妙に異なっており、カオスの統一的な数学的定義は未だに存在していない{{Sfnm|松葉|2011|1p=430|合原|1993|2p=17}}。散逸系におけるカオスとはストレンジアトラクターを意味する{{Sfn|合原・黒崎・高橋|1999|p=112}}。
古くから知られていたアトラクターは、点アトラクター、周期アトラクター、準周期アトラクターの3つだけであった{{Sfn|小室|2005|p=45}}。ストレンジアトラクターというクラスのアトラクターは、コンピューターが発達して数値計算が実用になって以降の1960年代になって見つかった{{Sfn|小室|2005|p=45}}。「カオス」と同様、ストレンジアトラクターの広く共有された定義も現在のところ存在していない{{Sfnm|上田|2008|1p=87|Jackson|1994|2p=161}}。ここではアトラクターの定義に合わせ、{{Harv|ウィギンス|2013}} に沿ったストレンジアトラクターの定義を挙げる。集合 {{Mvar|A}} が位相的に推移的なアトラクターであり、かつ[[コンパクト集合|コンパクト]]であるとする。さらに {{Math|(''A'', ''φ'')}} あるいは {{Math|(''A'', ''f'')}} が以下の初期値鋭敏性を満たすとき、{{Mvar|A}} を'''ストレンジアトラクター'''と呼ぶ{{Sfn|ウィギンス|2013|pp=622–623, 626}}。
*連続力学系の場合：
**ある {{Math|''δ'' > 0}} が存在し、任意の {{Math|''x'' ∈ ''A''}} と任意の近傍 {{Math|''U''(''x'')}} に対して、{{Math|{{Abs|''φ''(''t'', ''x'') − ''φ''(''t'', ''y'')}} > ''δ''}} を満たす {{Math|''y'' ∈ ''U''}} と {{Math|''t'' ∈ '''R'''}} が存在する。
*離散力学系の場合：
**ある {{Math|''δ'' > 0}} が存在し、任意の {{Math|''x'' ∈ ''A''}} と任意の近傍 {{Math|''U''(''x'')}} に対して、{{Math|{{Abs|''f''<sup> ''k''</sup>(''x'') − ''f''<sup> ''k''</sup>(''y'')}} > ''δ''}} を満たす {{Math|''y'' ∈ ''U''}} と {{Math|''k'' ∈ '''Z'''}} が存在する。
初期値鋭敏性とは、わずかな初期値の違いが時間発展にともなって次第に大きくなることを意味し、[[バタフライ効果]]という言葉としても知られる{{Sfn|合原・黒崎・高橋|1999|pp=44, 230}}。ただし、上記の初期値鋭敏性の定義は[[指数関数]]的な分離を必ずしも要求していない<ref name="金子・津田">{{Cite book ja-jp |author = 金子 邦彦・津田 一郎 |title = 複雑系のカオス的シナリオ |series = 複雑系双書1 |publisher = 朝倉書店 |year = 1996 |edition = 初版 |isbn = 4-254-10514-2 }} p. 47</ref>。現在では、指数関数的分離すなわち正の[[リアプノフ指数]]を持つことを初期値鋭敏性に要求することが多い<ref name="金子・津田"/>。
[[File:Lorentz сhaos as black hole.ogv|thumb|球体形に分布させて用意した2500個の初期値の点がローレンツアトラクターに引き込まれる様子]]
準周期アトラクターと同じく、自励的な連続力学系においてはストレンジアトラクターは3次元以上から存在する{{Sfnm|徳永|1990|1p=70|伊東|1993|2p=15}}。最初に広く知られた連続力学系のストレンジアトラクターは、[[エドワード・ローレンツ]]が[[熱対流]]の振る舞いをモデル化から導入した次の[[ローレンツ方程式]]で現れる{{Sfnm|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012b|1p=189|合原（編）|2000|2pp=41, 43}}。
:<math>\dot{x} = -\sigma x + \sigma y </math>
:<math>\dot{y} = -xz + rx - y </math>
:<math>\dot{z} = xy - bz </math>
ローレンツが使用したパラメータは {{Math2|(''σ'', ''r'', ''b'') {{=}} (10, 28, 8/3)}} で、このときに存在するアトラクターは'''ローレンツアトラクター'''として有名である{{Sfn|合原|1993|pp=79–80}}。
多くのストレンジアトラクターの形は、自己相似形いわゆる[[フラクタル]]の構造となっている{{Sfn|合原|1993|pp=88, 90}}。実際、フラクタル構造を持つアトラクターを指してストレンジアトラクターの定義とする考え方もある{{Sfnm|井上・秦|1999|1p=79|グーリック|1995|2p=184}}<ref>{{Cite book ja-jp |author = B. マンデルブロ |others = 広中 平祐（監訳）|publisher = 筑摩書房 |title = フラクタル幾何学 上 |url = https://www.chikumashobo.co.jp/product/9784480093561/ |series = ちくま学芸文庫 |year = 2011 |isbn = 978-4-480-09356-1 }} pp. 431–433</ref>。ただし、現在ではストレンジアトラクターを考える上ではフラクタル構造よりも初期値鋭敏性の方がより重要といわれる{{Sfn|Strogatz|2015|p=355}}。初期値鋭敏性がストレンジアトラクターの力学的・動的な特徴を表しているのに対し、フラクタル構造がストレンジアトラクターの幾何学的・静的な特徴を表しているといえる{{Sfnm|Jackson|1994|1p=303|合原（編）|2000|2p=121}}。
[[File:Self-similarity of Henon map.png|thumb|330px|{{Math2|(''a'', ''b'') {{=}} (1.4, 0.3)}} の[[エノン写像]]で現れるストレンジアトラクター（最上図）とその自己相似性（下図3つ）。{{Math|''n'' {{=}} 2<sup>20</sup>}} まで繰り返し計算した例。]]
ストレンジアトラクターのフラクタル構造は、離散力学系である[[エノン写像]]が観察しやすい{{Sfnm|合原・黒崎・高橋|1999|1p=98|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|2p=122}}。エノン写像のパラメータが {{Math2|(''a'', ''b'') {{=}} (1.4, 0.3)}} のときに、バナナのような形に折れ曲がったアトラクターが存在する{{Sfn|グリック|1991|pp=260–262}}。このアトラクターは'''エノンアトラクター'''と呼ばれ、全体図からは単純な数本の線から成るように見えるが、アトラクターの一部を拡大していくと自己相似形の無限の線からできていることが分かる{{Sfn|グーリック|1995|pp=154–155}}。エノンアトラクターの次元は、数値計算で[[ボックスカウント次元]]（[[フラクタル次元]]の一種） 1.26 という値が求められている{{Sfn|Falconer|2006|p=247}}。
特定のものを除き、ストレンジアトラクターであることの厳密な証明は困難で、ストレンジアトラクターの一般的性質の解明は未だ十分に達成できていない{{Sfnm|ウィギンス|2013|1pp=627–628|松葉|2011|2p=480}}。数値計算実験では、繰り返しが見られずストレンジアトラクターと判断されるものであっても、厳格な立場から言えば、実はそれは計算時間を超える極めて長い周期を持つ周期アトラクターであるという可能性が残る{{Sfn|Strogatz|2015|pp=357–358}}。カオスであることの厳密な証明できている事例は、[[双曲型集合|系が双曲型である]]場合にほとんど限られている{{Sfn|井上・秦|1999|p=91}}。ある可微分写像の不変閉部分集合が双曲型であるとき、任意の点の[[接空間]]は拡大的な部分空間と縮小的な部分空間の[[直和]]となる{{Sfn|久保・矢野|2018|p=288}}。双曲型のアトラクターを'''双曲型アトラクター'''といい、双曲型アトラクターであればカオスであることが知られる<ref name="青木"/>。双曲型力学系でストレンジアトラクターを持つことが示される例には、平面上に定義される[[パイこね変換]]や[[トーラス体]]上に定義される[[ソレノイド (数学)|ソレノイド]]などがある{{Sfnm|井上・秦|1999|1pp=90–91|Devaney|2003|2pp=177–181, 186}}。
一方で、アトラクターが非双曲型の場合、解析は一般に困難となる<ref name="青木"/>。しかし、自然な力学系の多くは非双曲型である{{Sfn|井上・秦|1999|pp=95–96}}。これまで構成・研究された双曲型アトラクターは、応用研究で現れる微分方程式との[[ポアンカレ写像]]によるつながりがないなど、やや人工的といえる{{Sfn|ウィギンス|2013|p=627}}。著名なローレンツアトラクターも、ストレンジアトラクターであることは確実視されてはいたものの、数学的証明を与えることは長い間できていなかった{{Sfn|Strogatz|2015|p=354}}。ローレンツアトラクターが最初に発見されたのは1963年だが、ストレンジアトラクターであることの完全な形での数学的証明が最初に与えられたのは2002年のことで、[[ウォリック・タッカー]]が[[精度保証付き数値計算]]と解析的手法を組み合わせて証明した<ref>{{Cite journal ja-jp |author = 荒井 迅 |year = 2006 |title = 精度保証付き数値計算の力学系への応用について |url = http://hdl.handle.net/2433/58149 |journal = 数理解析研究所講究録 |serial = 1485 |publisher = 京都大学数理解析研究所 |pages = 1–4 }}</ref>。
===指標別整理===
[[File:Orbital instability (Lyapunov exponent).png|thumb|270px|[[リアプノフ指数]] {{Mvar|λ}} の概念図。{{Mvar|λ}} が近接する軌道が離れていく度合いを表している。]]
アトラクターの定量的評価は、[[リアプノフスペクトラム]]、[[フラクタル次元]]、[[パワースペクトル]]などによって行われる{{Sfnm|合原（編）|2000|1p=122|佐野|2001|2pp=85, 88|竹山|1992|3pp=58–61}}。ただし、パワースペクトル評価ではカオスと[[ノイズ]]（あるいは周期的振る舞いにノイズが乗ったもの）との区別が付きにくいという欠点がある{{Sfn|伊東|1993|pp=64–67}}。特に、リアプノフスペクトラムによる分類がアトラクターの正確な分類を与えてくれる{{Sfn|佐野|2001|p=85}}。
ある軌道とある軌道が離れていく度合いを定量化したもの[[リアプノフ指数]]といい、{{Mvar|n}} 次元力学系であればリアプノフ指数は各方向に対応して {{Mvar|n}} 個存在する{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012b|p=1}}。このリアプノフ指数を大きい順に並べたもの {{Math|(''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>, …, ''λ''<sub>''n''</sub>)}} をリアプノフスペクトラムという{{Sfn|合原（編）|2000|p=163}}。リアプノフスペクトラムで各アトラクターの特性を説明すると以下のようになる。
;点アトラクター
:アトラクターすなわち固定点上からのズレは、全ての方向において吸引される{{Sfn|竹山|1992|p=41}}。よって、点アトラクターの全てのリアプノフ指数は負である{{Sfnm|合原（編）|2000|1p=16|佐野|2001|2p=85}}。
;周期アトラクター
:アトラクターすなわち閉曲線は周期軌道であるから、閉曲線上の2点は時間発展によって近づいたり離れたりしない{{Sfn|竹山|1992|pp=42–43}}。よって、周期アトラクターの閉曲線接線方向のリアプノフ指数は0であり、吸引的でも反発的もない{{Sfnm|合原（編）|2000|1p=16|佐野|2001|2p=85}}。閉曲線に垂直な方向のズレは全て閉曲線に吸引されるので、閉曲線に垂直な全ての方向のリアプノフ指数は負である{{Sfnm|合原（編）|2000|1p=16|佐野|2001|2p=85|竹山|1992|3pp=42–43}}。
;準周期アトラクター
:準周期アトラクターを {{Mvar|k}} 次元のトーラス（{{Math|''k''-}}トーラス、{{Math|''k'' < ''n''}}）だとする。周期アトラクターと同じように軌道方向は近づいたり離れたりせず、中立的である{{Sfn|竹山|1992|pp=44–45}}。よって、{{Math|''k''-}}トーラス上の軌道接線方向はリアプノフス指数 0 で、軌道に垂直でかつトーラス面内方向もリアプノフス指数 0 である{{Sfnm|竹山|1992|1pp=44–45|松本・徳永・宮野・徳田|2002|2p=7}}。結局、準周期アトラクターでは {{Mvar|k}} 個のリアプノフ指数が 0 である{{Sfnm|合原（編）|2000|1p=16|松本・徳永・宮野・徳田|2002|2p=7}}。それ以外のトーラス面に対して垂直な全ての方向では、リアプノフ指数は負である{{Sfnm|松本・徳永・宮野・徳田|2002|1p=7|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|2p=267}}。
;ストレンジアトラクター
:ストレンジアトラクターは、初期値鋭敏性を持つために少なくとも1つのリアプノフ指数が正である{{Sfnm|佐野|2001|1p=86|合原（編）|2000|2p=16}}。軌道接線方向はリアプノフ指数 0 である{{Sfnm|佐野|2001|1p=86|合原（編）|2000|2p=16}}。残りのリアプノフ指数は負であり、さらに相空間の体積要素が縮小していくという散逸系の特性にしたがって、全てのリアプノフ指数の和は負になる{{Sfn|佐野|2001|p=86}}。
以上のような各アトラクターに対する指標・特性をまとめると、以下の表のようになる。
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ それぞれのアトラクターに対する指標・特性
|-
! !! 点アトラクター !! 周期アトラクター !! 準周期アトラクター !! ストレンジアトラクター
|-
| アトラクターの幾何学的構造{{Sfn|合原（編）|2000|p=16}}
| style="width:21%" | 点
| style="width:21%" | 閉曲線
| style="width:21%" | {{Mvar|k}}-トーラス
| style="width:21%" | フラクタル構造
|-
|-
| アトラクター上の振る舞い{{Sfn|合原（編）|2000|p=16}}
| 静止
| 周期的
| 準周期的
| カオス
|-
| {{Mvar|n}} 次元相空間におけるアトラクターの次元{{Sfn|合原（編）|2000|p=16}}
|| 0
|| 1
|| {{Mvar|n}} 未満の整数 {{Mvar|k}}
|| {{Mvar|n}} 未満の非整数
|-
| {{Mvar|n}} 次元相空間の場合のリアプノフスペクトラム{{Sfn|合原（編）|2000|p=16}}
|| {{Math|''i'' {{=}} 1,…, ''n''}} で {{Math|''λ<sub>i</sub>'' < 0}}
|| {{Math|''i'' {{=}} 1}} で {{Math|''λ<sub>i</sub>'' {{=}} 0}}<br />
{{Math|''i'' {{=}} 2,…, ''n''}} で {{Math|''λ<sub>i</sub>'' < 0}}
|| {{Math|''i'' {{=}} 1,…,''k''}} で {{Math|''λ<sub>i</sub>'' {{=}} 0}}<br />
{{Math|''i'' {{=}} ''k''+1,…, ''n''}} で {{Math|''λ<sub>i</sub>'' < 0}}
|| {{Math|''i'' {{=}} 1,…, ''m''−1}} で {{Math|''λ<sub>i</sub>'' > 0}}<br />
{{Math|''i'' {{=}} ''m'' }} で {{Math|''λ<sub>i</sub>'' {{=}} 0}}<br />
{{Math|''i'' {{=}} ''m''+1,…, ''n''}} で {{Math|''λ<sub>i</sub>'' < 0}}
|-
| 3次元相空間の場合のリアプノフスペクトラム{{Sfnm|佐野|2001|1p=85|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|2p=268}}
|| {{Math|''λ''<sub>1</sub> < 0 }}<br />
{{Math|''λ''<sub>2</sub> < 0 }}<br />
{{Math|''λ''<sub>3</sub> < 0 }}
|| {{Math|''λ''<sub>1</sub> {{=}} 0 }}<br />
{{Math|''λ''<sub>2</sub> < 0 }}<br />
{{Math|''λ''<sub>3</sub> < 0 }}
|| {{Math|''λ''<sub>1</sub> {{=}} 0 }}<br />
{{Math|''λ''<sub>2</sub> {{=}} 0 }}<br />
{{Math|''λ''<sub>3</sub> < 0 }}
|| {{Math|''λ''<sub>1</sub> > 0 }}<br />
{{Math|''λ''<sub>2</sub> {{=}} 0 }}<br />
{{Math|''λ''<sub>3</sub> < 0 }}
|-
| パワースペクトルの様相{{Sfnm|竹山|1992|1pp=58–61|井上・秦|1999|2p=45}} || - || 1個の基本振動数とその整数倍で線スペクトル || {{Mvar|k}} 個の基本振動数とその整数倍、およびそれらの差・和の組み合わせで線スペクトル || 連続スペクトル
|}
==一つの系が持つアトラクター・ベイスンの数・種類・変化==
===アトラクターの共存===
[[File:Coexisting of strange attractor and periodic attractor of Henon map.png|thumb|330px|{{Math2|(''a'', ''b'') {{=}} (1.07, 0.3)}} の[[エノン写像]]において共存するアトラクターの例。4本に分かれた紫の帯がストレンジアトラクター、オレンジの点々が6周期アトラクターで、初期値によってどちらかに引き込まれる。]]
1つの系に存在するアトラクターは1つとは限らず、1つの系に複数のアトラクターが共存できる{{Sfn|井上・秦|1999|p=61}}。1つの系に多数のアトラクターが併存することは珍しくなく、無限個のアトラクターを持つような系を考えることもできる{{Sfnm|Thompson & Stewart|1988|1p=iv|早間|2002|2p=84|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|3p=93}}。アトラクターが複数のときは、リアプノフ指数のような各種特性指標もアトラクターごとに固有である{{Sfn|井上・秦|1999|p=61}}。
点アトラクターと周期アトラクター、点アトラクターとストレンジアトラクターなど、複数の種類のアトラクターが同時に存在することもある{{Sfn|Thompson & Stewart|1988|p=iv}}。例えば、パラメータ {{Math2|(''a'', ''b'') {{=}} (1.07, 0.3)}} のエノン写像ではストレンジアトラクターと周期アトラクターが共存する<ref name="JacksonII">{{Cite book ja-jp |author = E. Atlee Jackson |translator = 田中 茂・丹羽 敏雄・水谷 正大・森 真 |title = 非線形力学の展望II ―複雑さと構造 |url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320033269 |publisher = 共立出版 |year = 1995 |edition = 初版 |isbn = 4-320-03326-4 }} pp. 23–24</ref>。このとき、初期値 {{Math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>) {{=}} (1.0, 0)}} であれば軌道は4本の帯のようなストレンジアトラクターへ引き込まれ、初期値 {{Math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>) {{=}} (1.5.0, 0)}} であれば軌道は周期6の周期アトラクターへ引き込まれる<ref name="JacksonII"/>。
アトラクターが複数存在するときは、ベイスンの棲み分けが起き、初期条件に応じてどのアトラクターに引き込まれるかが決まる{{Sfnm|金子|2009|1p=69|早間|2002|2p=84}}。種類の異なる振る舞いごとに相空間を分ける軌道を[[セパラトリックス]]といい{{Sfn|松葉|2011|p=15}}、ベイスン同士の境界線をセパラトリックスということがある{{Sfnm|上田|2008|1p=7|竹山|1992|2p=27}}。セパラトリックスも軌道の1つであり{{Sfn|松葉|2011|p=15}}、[[ホモクリニック軌道]]や[[双曲型平衡点|鞍点]]から出る2つの[[安定多様体]]がセパラトリックスの例である{{Sfnm|ウィギンス|2013|1p=32|Strogatz|2015|2p=175}}。
===複雑なベイスン===
アトラクターが簡単な形であっても、そのベイスンの形が簡単とは限らない{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=104}}。特に、複数のアトラクターが存在するときには、それらのベイスン同士の境界が[[フラクタル]]になることもある{{Sfnm|井上・秦|1999|pp=135–136|早間|2002|2p=204}}。例えば、エノン写像はパラメータ {{Math|(''a'', ''b'') {{=}} (1.54, 0.15)}} で3周期アトラクターと5周期アトラクターが共存しているが、それらの2つのベイスンは複雑に入り乱れ、境界はフラクタルになっている{{Sfn|徳永|1990|p=105}}。1つのアトラクターに対するベイスンが[[連結空間|連結]]ではなく、バラバラの連結成分に分かれていることがあり、とくに[[複素力学系]]ではベイスンが無限個の連結成分から成ることもよくある{{Sfn|Devaney|2003|p=248}}。このようなとき、通常のベイスン（吸引域、鉢）に対し、アトラクターを含んでいる連結成分を'''直接吸引域'''{{Sfn|Devaney|2003|p=248}}や'''吸引の直接鉢'''<ref>{{Cite book ja-jp |author = H.-O.パイトゲン；P.H.リヒター |translator = 宇敷 重広 |title = フラクタルの美 ―複素力学系のイメージ |publisher = シュプリンガー・フェアラーク東京 |year = 1988 |edition = 初版 |isbn = 4-431-70538-4}} p. 53</ref>と呼ぶ。
[[File:Julia set for the rational function.png|thumb|320px|{{Math|''p''(''z'') {{=}} ''z''<sup>3</sup> − 1, ''z'' ∈ '''C'''}} に[[ニュートン法]]を適用してできるベイスンのフラクタル境界。点アトラクターは3つの点 {{Math|''z''<sub>1</sub> {{=}} 1}} と {{Math|''z''<sub>2</sub> {{=}} −1/2 + ''i''{{sqrt|3}}/2}} と {{Math|''z''<sub>3</sub> {{=}} −1/2 − ''i''{{sqrt|3}}/2}} であり{{Sfn|Falconer|2006|p=301}}、図では {{Math|''z''<sub>1</sub>}} のベイスンを赤色で、{{Math|''z''<sub>2</sub>}} のベイスンを緑色で、{{Math|''z''<sub>3</sub>}} のベイスンを青色で、ガウス平面を塗り分けている。]]
複素力学系においてフラクタルなベイスン境界が出てくる例として、[[複素数]]へ拡張した[[ニュートン法]]を扱う問題がある{{Sfn|早間|2002|p=204}}。ニュートン法とは関数 {{Math|''f''(''x'')}} の[[関数の零点|零点]]の値を出す[[数値計算|数値計算法]]の一種で、{{Mvar|x}} を複素数 {{Math|''z'' ∈ '''C'''}} に拡張し、関数を[[多項式]] {{Math|''p''(''z'')}} としたとき、
:<math>z_{n+1} = z_n - \frac{p(z_n)}{p^{\prime}(z_n)} </math>
という離散力学系が定義できる{{Sfn|早間|2002|pp=204–205}}。この写像が {{Math|''n'' → ∞}} で収束する値は {{Math|''p''(''z'')}} の零点であり、力学系的には複素平面上の吸引不動点（点アトラクター）である{{Sfnm|Falconer|2006|1p=299|グリック|1991|2pp=370–371}}。{{Math|''p''(''z'')}} の[[多項式の次数|次数]]が3以上のとき、ニュートン法による写像のベイスン境界は非常に複雑な形となる{{Sfn|Falconer|2006|p=301}}。特に、{{Math|''p''(''z'') {{=}} ''z''<sup>3</sup> − 1}} の3次多項式では3つの点アトラクターのベイスン境界は鎖あるいは数珠つなぎのようなフラクタルを成すことが知られている{{Sfnm|Falconer|2006|1p=302|グリック|1991|2pp=371–374}}。
他の特殊で複雑なベイスンとしては'''リドルベイスン'''、'''リドルドベイスン'''（{{Lang-en|riddled basin|links=no}}）と呼ばれるものがある{{Sfnm|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012a|1p=188|早間|2002|2p=133|井上・秦|1999|3p=136}}。あるアトラクター {{Math|''A''<sub>1</sub>}} のベイスンを {{Math|''B''(''A''<sub>1</sub>)}} で、併存するアトラクター {{Math|''A''<sub>2</sub>}} のベイスンを {{Math|''B''(''A''<sub>2</sub>)}} で表すとする。{{Math|''B''(''A''<sub>1</sub>)}} が {{Math|''B''(''A''<sub>2</sub>)}} に対してリドルであるとは、{{Math|''B''(''A''<sub>1</sub>)}} の全ての点の開近傍に {{Math|''B''(''A''<sub>2</sub>)}} が有限の割合で含まれることを意味する{{Sfn|早間|2002|p=133}}<ref>{{Cite journal ja-jp |author = 堀田 武彦・末谷 大道 |year = 1992 |title = リドル・ベイスンの多重フラクタル構造 |journal = 理論応用力学講演会 講演論文集 |series = 51 |publisher = 日本学術会議メカニクス·構造研究連絡委員会 |doi = 10.11345/japannctam.tam51.0.232.0 |page = 232 }}</ref>。つまり、{{Math|''B''(''A''<sub>1</sub>)}} の全ての点のいくらでも近い範囲に {{Math|''B''(''A''<sub>2</sub>)}} の点が存在している{{Sfn|早間|2002|p=133}}。名前の「リドルド（{{Lang-en|riddled|links=no}}）」とは「穴だらけの」の意味で、リドルベイスンとは {{Math|''B''(''A''<sub>1</sub>)}} が {{Math|''B''(''A''<sub>2</sub>)}} によって穴だらけにされているという意味である{{Sfnm|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012a|1p=188|早間|2002|2p=133}}。リドルベイスンが生じるにはストレンジアトラクターを部分相空間として含むような相空間の力学系が必要であり、離散力学系であれば2次元以上から、連続力学系では4次元以上から生じる{{Sfn|早間|2002|pp=133–134}}。
フラクタル境界やリドルベイスンのような複雑なベイスンが存在する帰結として出てくるのが、カオスとは異なる形の予測困難性である{{Sfnm|井上・秦|1999|1p=136|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012a|2p=190}}。すなわち、ほとんどの初期値において、軌道はどのアトラクターに引き込まれるのか予測できなくなる{{Sfn|上田|2008|p=150}}。予測のためには初期値の指定に限りない精度が求められ、初期値に微小な差があると結果は大きく異なる{{Sfnm|井上・秦|1999|1p=136|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012a|2p=190}}。
===分岐現象、カオスへのルート===
[[File:Hopf-bif.gif|thumb|300px|[[ホップ分岐]]の例。パラメータの変化にともなってアトラクターが、点アトラクター → 周期アトラクター（青の閉曲線） → 点アトラクター と変化する。]]
系のパラメータ（微分方程式や写像の係数）が変わると、ある臨界値を境に系の定性的な振る舞いが変わることがある{{Sfnm|井上・秦|1999|1p=36|Strogatz|2015|2p=49}}。この現象を[[分岐 (力学系)|分岐]]という{{Sfnm|井上・秦|1999|1p=36|Strogatz|2015|2p=49}}。アトラクターやベイスンも分岐によって変化する{{Sfnm|徳永|1990|1p=80|上田|2008|2p=14}}。点アトラクターが周期アトラクターになったり、周期アトラクターが準周期アトラクターになったりする{{Sfn|徳永|1990|p=80}}。あるいは、アトラクター自体が消滅したり、新しいアトラクターが出現したりする{{Sfn|上田|2008|p=14}}。基本的な分岐である[[サドルノード分岐]]では、安定な固定点と不安定な固定点がパラメータの変化に従って接近し、衝突して共に消滅する{{Sfn|久保・矢野|2018|pp=206–208, 234}}。逆にパラメータを変化させると、固定点がないところから安定な固定点と不安定な固定点が現れるということになる{{Sfn|久保・矢野|2018|pp=206–208, 234}}。他には、安定な固定点が不安定な固定点と安定なリミットサイクルに変わる[[ホップ分岐]]などがある{{Sfn|郡・森田|2011|p=57}}。また、[[クライシス (力学系)|クライシス]]と呼ばれる、アトラクターの大きさが不連続的に突然変化したり、アトラクターが不連続的に突然出現・消滅するような現象もある{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012c|p=16}}。
特に、単純な振る舞いがいくつかの分岐を経てカオス的振る舞いへ変わる道筋は、'''カオスへのルート'''（{{Lang-en|route to chaos|links=no}}）などと呼ばれる{{Sfnm|徳永|1990|1p=98|松本・徳永・宮野・徳田|2002|2p=20|合原・黒崎・高橋|1999|3p=31}}。広く認知されているカオスへのルートには、'''周期倍分岐ルート'''、'''間欠ルート'''、'''準周期崩壊ルート'''の3つがある{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=21}}。周期倍分岐ルートでは、周期アトラクターが有限のパラメータ範囲の中で[[周期倍分岐]]を無限回繰り返してカオスに至る{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=21}}。周期倍分岐とは {{Mvar|k}} 周期の安定閉軌道が {{Mvar|k}} 周期の不安定閉軌道と {{Math|2''k''}} 周期の安定閉軌道と分岐する現象で{{Sfn|グーリック|1995|p=48}}、無限の周期倍分岐の列は周期倍カスケードとして知られる{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012b|p=192}}。間欠ルートでは、カオス的不変集合を潜在的に伴っていた周期アトラクターがサドルノード分岐で消滅し、ストレンジアトラクターが現れる{{Sfnm|松本・徳永・宮野・徳田|2002|1p=21|徳永|1990|2p=105}}。周期アトラクター消滅後にも、カオス軌道の中で元の周期的な振る舞いが一定時間ごとに（間欠的に）起こる特徴を持ち、このような振る舞いを間欠性カオスという{{Sfnm|徳永|1990|1p=104|佐野|2001|2pp=69–70}}。準周期崩壊ルートとは、準周期アトラクターが位相ロッキングと呼ばれる振動数比の有理数化（すなわち周期アトラクター化）を経てカオスに至る道筋である{{Sfnm|松本・徳永・宮野・徳田|2002|1p=21|徳永|1990|2pp=100–104}}。最終的なカオスへの遷移自体は、上記の周期倍カスケードや間欠カオスによって起こる{{Sfnm|佐野|2001|1pp=70–71|松本・徳永・宮野・徳田|2002|2p=21}}。
特に周期倍分岐ルートはもっとも有名なカオス発生の道筋で、多数の低次元系で周期倍カスケードの例が見つかってきた{{Sfnm|井上・秦|1999|1p=97|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012c|2p=110}}。周期倍分岐ルートは上述の[[ローレンツ方程式]]や[[エノン写像]]でも起き{{Sfnm|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|pp=290–291|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012c|2pp=113–114}}、他には[[レスラー方程式]]
:<math>\dot{x} = -y - z </math>
:<math>\dot{y} = x +a y </math>
:<math>\dot{z} = b - cz + xz </math>
で起こるものなどが知られる{{Sfnm|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012b|1pp=190–193|佐野|2001|2p=67}}。レスラー方程式のアトラクターの周期倍分岐の例を以下に示す{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012b|p=193}}。図は {{Mvar|xy}}-平面へ射影した軌道を示し、パラメータは {{Math|''a'' {{=}} 0.1}} と {{Math|''b'' {{=}} 0.1}} を固定で、{{Mvar|c}} を変化させている。
<gallery caption="レスラー方程式のアトラクターの分岐" mode="nolines" widths=250px heights=300px>
File:RosslerC4.svg | {{Math|''c'' {{=}} 4.0}}（1周期アトラクター）
File:RosslerC6.svg | {{Math|''c'' {{=}} 6.0}}（2周期アトラクター）
File:RosslerC85.svg | {{Math|''c'' {{=}} 8.5}}（4周期アトラクター）
File:RosslerC87.svg | {{Math|''c'' {{=}} 8.7}}（8周期アトラクター）
File:RosslerC9.svg | {{Math|''c'' {{=}} 9.0}}（ストレンジアトラクター）
File:RosslerC12.svg | {{Math|''c'' {{=}} 12.0}}（3周期アトラクター）
File:RosslerC126.svg | {{Math|''c'' {{=}} 12.6}}（6周期アトラクター）
File:RosslerC13.svg | {{Math|''c'' {{=}} 13.0}}（ストレンジアトラクター）
File:RosslerC18.svg | {{Math|''c'' {{=}} 18.0}}（ストレンジアトラクター）
</gallery>
==時系列データからの再構成==
===時間遅れ座標系への変換===
[[File:Reconstruction of System Dynamics from a Time Series (using the canonical Lorenz attractor example).webp|thumb|350px|ローレンツアトラクターを例にしたアトラクターの再構成の概念図。(A) {{Mvar|XYZ}}-相空間のアトラクターと、それから取り出される（観測される）{{Mvar|X}} の時系列データ。(B) {{Mvar|X}} 時系列データから時間遅れ {{Mvar|τ}} によって作られる時間遅れ座標系{{Math|(''X''<sub>''t''</sub>, ''X''<sub>''t''−''τ''</sub>, ''X''<sub>''t''−2''τ''</sub>)}} と、{{Math|''X''<sub>''t''</sub>''X''<sub>''t''−''τ''</sub>''X''<sub>''t''−2''τ''</sub>}}-空間上で再構成された軌道<ref>Giron-Nava, A., Munch, S.B., Johnson, A.F. et al. Circularity in fisheries data weakens real world prediction. Sci Rep 10, 6977 (2020). https://doi.org/10.1038/s41598-020-63773-3</ref>。]]
時間発展の法則があらかじめ分かっている系であれば、数値計算からアトラクターを描くことは容易なことである{{Sfn|井上・秦|1999|p=75}}。しかし、実現象の実験データなどでは、その背後の時間発展法則は不明確なことが多い{{Sfn|井上・秦|1999|p=75}}。さらに、時間発展法則が推定できる場合でも、その系を構成する複数の状態変数の内の一部、極端には1つの状態変数しか測定できないことも多い{{Sfn|井上・秦|1999|p=75}}。このような状況の測定データから系の振る舞いを再構成する問題は、多くの工学者や科学者にとって重要な課題である{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=39}}。1つの状態変数の時系列データから系のアトラクターを再現する手法は'''アトラクターの再構成'''（{{Lang-en|attractor reconstruction|links=no}}）として知られ{{Sfnm|合原（編）|2000|1pp=9–10|Strogatz|2015|2p=478}}、特に、不規則的な時系列データについて決定論的な力学系の観点から解析を試みる上でアトラクターの再構成が解析の基礎となる<ref name="池口・合原">{{Cite journal ja-jp |author = 池口 徹・合原 一幸 |year = 1997 |title = 力学系の埋め込み定理と時系列データからのアトラクタ再構成 |journal = 応用数理 |volume = 7 |issue = 4 |publisher = 日本応用数理学会 |doi = 10.11540/bjsiam.7.4_260 |page = 261}}</ref>。
アトラクターの再構成のために現在広く利用されているのが、測定された時系列データを時間遅れ座標系へ変換する手法である{{Sfnm|合原（編）|2000|1p=13|松本・徳永・宮野・徳田|2002|2p=40}}。1次元離散時間の時系列データ {{Math|''u''(''t'')}} が得られたとする。これに対して適当な時間遅れ {{Mvar|τ}} と適当な次元 {{Mvar|m}} を決め、{{Math|''u''(''t'')}} から次のような {{Mvar|m}} 次元ベクトル {{Math|'''''u''''' ∈ '''R'''<sup>''m''</sup>}} を各 {{Mvar|t}} に対して作る{{Sfn|合原（編）|2000|p=22}}。
:<math> \boldsymbol{u}(t) = (u(t),\ u(t+\tau),\ u(t+2\tau),\cdots,\ u(t+(m-1)\tau))</math>
ここで、{{Mvar|m}} は'''埋め込み次元'''と呼ばれる{{Sfn|佐野|2001|p=94}}。時間遅れ {{Mvar|τ}} と埋め込み次元 {{Mvar|m}} を適切に選択すれば、時系列データを生んだ元の相空間のアトラクターの性質が、時間遅れ座標系によって作られるアトラクターに引き継がれる{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=49}}。
数学的には、いくつかの仮定のもとで、この時系列データから時間遅れ座標系への変換が[[埋め込み (数学)|埋め込み]]であることは、[[ターケンスの埋め込み定理]]およびそれを拡張させた定理によって保証されている<ref name="池口・合原"/>{{Sfn|合原（編）|2000|p=13}}。ここで埋め込みとは、[[可微分多様体|滑らかな多様体]] {{Mvar|M}} と[[滑らかな関数|滑らかな写像]] {{Math|''F'': ''M'' → '''R'''<sup>''n''</sup>}} が与えられたとき、{{Math|''F'': ''M'' → ''F''(''M'')}} が[[微分同相写像]]で、かつ全ての {{Math|''p'' ∈ ''M''}} において[[写像の微分|微分]] {{Math|''dF''(''p''): ''T<sub>p</sub>M'' → T<sub>''F''(''p'')</sub>)'''R'''<sup>''n''</sup>}} が[[単射|1対1]]であることを指す{{Sfn|合原（編）|2000|pp=17–18, 81}}。ただし、時系列解析分野では、この変換を使った手法自体を埋め込みと呼んだりもする{{Sfnm|佐野|2001|1p=94|井上・秦|1999|2p=75}}。変換が埋め込みであることによって元のアトラクターのフラクタル次元が保存され、リアプノフ指数の推定も可能となる{{Sfnm|合原（編）|2000|1p=28|松本・徳永・宮野・徳田|2002|2pp=47, 65}}。ターケンスの埋め込み定理は、[[ホイットニーの埋め込み定理]]を力学系の観測問題用に1変数時系列から時間遅れ座標系への変換を扱う形にフロリス・ターケンスが拡張したもので<ref name="池口・合原"/>、ターケンスの埋め込み定理以降、時系列データからの再構成に関する研究が一気に進展した{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012c|p=164}}。ターケンスの埋め込み定理では、元となるアトラクターが写像 {{Mvar|f}} のもとで不変でかつ整数次元 {{Mvar|d}} のコンパクト多様体に対して、埋め込み次元が {{Math|''m'' > 2''d''}} を満たせば成立する{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012c|p=164}}。ターケンスの後にティム・サウアーらによって、[[ボックスカウント次元]] {{Mvar|d<sub>B</sub>}} を持ったコンパクト部分集合についても、いくつかの追加条件付きだが {{Math|''m'' > 2''d<sub>B</sub>''}} で同種の定理が成り立つことが証明されている{{Sfnm|合原（編）|2000|1pp=23–24|松本・徳永・宮野・徳田|2002|2p=46}}。
===埋め込み次元と時間遅れの最適化===
[[File:Reconstruction of Lorenz attractor by time delayed coordinates.png|thumb|270px|ローレンツアトラクター（上）を埋め込み次元 {{Math|''m'' {{=}} 3}} で {{Mvar|x}} 時系列から再構成した例（下）。時間遅れは {{Math|''τ'' {{=}} 0.05}} の場合。]]
アトラクターの再構成を行う上でまず問題となるのは、埋め込み次元 {{Mvar|m}} と時間遅れ {{Mvar|τ}} をどう決めるのかである{{Sfnm|Strogatz|2015|1pp=480–481|松本・徳永・宮野・徳田|2002|2pp=40, 49}}。埋め込み次元については、定理上は {{Math|''m'' > 2''d''}} であれば埋め込みであることが保証されるが、これは[[十分条件]]であり、{{Mvar|m}} がこれ以下でも埋め込みとなることはあり得る{{Sfn|合原（編）|2000|p=75}}。埋め込み次元が小さいと、再構成された曲線で摂動でも消えない自己交差が起き、1対1とならない{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012c|pp=160–161}}。しかし、埋め込み次元を大きく取り過ぎると、計算コストの問題や予測への悪影響が出てくる<ref name="鈴木"/>。そのため、先にアトラクターの次元を推定する<ref name="鈴木">{{Cite journal ja-jp |author = 鈴木 秀幸 |year = 1998 |title = Takensの埋め込み定理 |journal = 日本ファジィ学会誌 |volume = 10 |issue = 4 |publisher = 日本知能情報ファジィ学会 |doi = 10.3156/jfuzzy.10.4_82 |pages = 664–665 }}</ref>。カオス時系列の解析において標準的に利用されている手法は、ボックスカウント次元の代わりに[[相関次元]]を使うもので、{{仮リンク|ピーター・グラスバーガー|en|Peter Grassberger}}と{{仮リンク|イタマー・プロカッチャ|en|Itamar Procaccia}}が導入した[[GPアルゴリズム]]で比較的容易に相関次元を計算できる{{Sfnm|合原（編）|2000|1p=132|松本・徳永・宮野・徳田|2002|2pp=55–56}}。埋め込み次元を増やしながら再構成したアトラクターの相関次元を計算し、相関次元の増加が頭打ちになったとき、このときの相関次元値をアトラクターの次元とし、このときの埋め込み次元を最適な {{Mvar|m}} 値とする{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=55}}。他には、アトラクター次元推定を行わずに、埋め込み次元が不足していることで生じる自己交差が解消される {{Mvar|m}} 値を設定された指標を使って推定する手法もある{{Sfnm|合原（編）|2000|1pp=75–80|松本・徳永・宮野・徳田|2002|2pp=59–64}}。
一方の時間遅れ {{Mvar|τ}} については、埋め込み定理上では任意でよく、値の設定に制限がない{{Sfnm|合原（編）|2000|1p=66|松本・徳永・宮野・徳田|2002|2p=49}}。しかし実際には {{Mvar|τ}} が小さ過ぎると、変換後のデータの相関が高く成り過ぎて、再構成されたアトラクターの形状は細長くつぶれてしまう{{Sfnm|合原（編）|2000|1p=67|佐野|2001|2p=95|伊東|1993|3p=70}}。あるいは {{Mvar|τ}} が大き過ぎると、特にストレンジアトラクターでは軌道不安定性によって相関がほとんど無相関となり、再構成されたアトラクターは雑音のような煩雑な形になる{{Sfnm|合原（編）|2000|1p=67|伊東|1993|2p=70}}。一つの方法は、アトラクターの平均的な周期の 1/2 から 1/10 程度の値に設定する方法がある{{Sfn|Strogatz|2015|p=481}}。もう一つの方法は、時間遅れの値を増やしながら時系列データの[[自己相関関数]]を計算し、自己相関関数が最初の極小値あるいは 0 とみなせる値になったときの時間遅れを最適な {{Mvar|τ}} の値とする方法がある{{Sfnm|合原（編）|2000|1p=72|松本・徳永・宮野・徳田|2002|2pp=50–51}}。ただし、時間遅れの最適値の決定法については、これらも含めて様々な手法が提案されているが現在のところ優劣の結論は出ていない{{Sfn|合原（編）|2000|pp=68–69}}。
===実現象への適用===
以上のような時間遅れ座標系への変換を利用した手法は、一般的な信号解析では把握が難しい現象、特にカオスが関わる複雑な非線形信号データの解明に有効な手法の一つである<ref>{{Cite book ja-jp |author = 馬杉 正男 |title = 信号解析 ―信号処理とデータ分析の基礎 |url = https://www.morikita.co.jp/books/mid/078631 |edition = 第1版 |publisher = 森北出版 |year= 2013 |isbn = 978-4-627-78631-8 }} pp. 107–108</ref>。実現象の実験測定データからアトラクターの再構成が成功した事例としては、化学振動反応の[[ベロウソフ・ジャボチンスキー反応]]でのストレンジアトラクターや2円筒間の[[テイラークエット流れ]]での準周期振動がある{{Sfn|伊東|1993|pp=70–79}}。
再構成の手法を使って様々な実現象の中にカオスの証拠を見出す問題が、これまでに取り組まれてきている{{Sfn|Strogatz|2015|p=482}}。再構成されたアトラクターを利用した予測も研究されている{{Sfnm|合原|1993|1pp=166–167|伊東|1993|2pp=108–109}}。カオスでは高精度な長期予測は原理的に不可能だが、同時にその振る舞いは決定論的に定まっているので、短期予測の精度向上の可能性は残されている{{Sfnm|合原|1993|1pp=158–159|合原（編）|2000|p=9}}。また、再構成されたアトラクターを応用した異常検出・モニタリング技術も研究されている{{Sfn|合原|1993|p=171}}。アトラクターの構造はそのシステムの変化に反応して変化するため、正常な状態のアトラクターと異常な状態のアトラクターを用意しておき、現在の状態をこれらと照らし合わせることで状態監視を行う{{Sfn|合原|1993|p=171}}。[[ばね]]<ref>{{Cite book ja-jp |author = イアン・スチュアート |translator = 須田 不二夫・三村 和男 |title = カオス的世界像 ―非定形の理論から複雑系の科学へ |url = http://www.hakuyo-sha.co.jp/science/%E3%82%AB%E3%82%AA%E3%82%B9%E7%9A%84%E4%B8%96%E7%95%8C%E5%83%8F/ |edition = 第一版 |publisher = 白揚社 |year= 1998 |isbn = 978-4-8269-0085-0 }} pp. 391–402</ref>、[[ボルト (部品)|ボルト]]<ref>{{Cite journal ja-jp |author = 広兼 道幸, 大江 眞紀子, 小西 日出幸, 鈴木 直人 |year = 2013 |title = 鋼橋の高力ボルト軸力診断へのカオス理論の適用に関する研究 |journal = 土木学会論文集F6（安全問題） |volume = 69 |issue = 2 |publisher = 土木学会 |doi = 10.2208/jscejsp.69.I_63 |pages = I_63-I_68 }}</ref>、[[転がり軸受]]<ref>{{Cite journal ja-jp |author = 小川 敏弘, 関口 泰久, 中川 紀壽 |year = 2003 |title = カオス時系列解析を用いた転がり軸受の異常診断 |journal = 日本機械学会九州支部講演論文集 |volume = 2003 |publisher = 日本機械学会 |doi = 10.1299/jsmekyushu.2003.35 |pages = 35-36 }}</ref>、[[ポンプ]]<ref>{{Cite journal ja-jp |author = 花熊 克友, 山本 順三 |year = 1999 |title = ポンプ異常検出に対する信号解析法の検討 |journal = 化学工学論文集 |volume = 25 |issue = 6 |publisher = 化学工学会 |doi = 10.1252/kakoronbunshu.25.1033 |pages = 1033-1036 }}</ref>、{{仮リンク|化学プラント|en|Chemical plant}}<ref>{{Cite journal ja-jp |author = 花熊 克友, 中矢 一豊, 佐々木 隆志, 中西 英二 |year = 1995 |title = アトラクタと多重解像度解析による異常信号の検出法 |journal = 化学工学論文集 |volume = 21 |issue = 1 |publisher = 化学工学会 |doi = 10.1252/kakoronbunshu.21.89 |pages = 89-94 }}</ref>などを対象に、再構成されたアトラクターを応用した異常検出の研究例がある。
ただし、時系列データから系の力学系的性質を調べるのは難しい問題でもある{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=136}}。上手くいかなかった例としては、1984年に行われた酸素原子同位体濃度にもとづく過去100万年の気候ダイナミクスの研究で、この気候ダイナミクスが4次元程度の低次元カオスである可能性が示唆されたが、後で否定されている{{Sfnm|松本・徳永・宮野・徳田|2002|1p=135|伊東|1993|2pp=95–96}}。特に、実験系ではない純粋な自然現象を対象とする場合は、測定データ数が限られてしまうという点やダイナミクスの要因自体が長期間の間に変動する可能性も解析を難しくしている{{Sfn|伊東|1993|pp=96–97}}。
[[File:Trajectories of knee joint angle reconstructed in state space by delay embedding.png|thumb|center|650px|歩行中のひざ角度を実験測定し、時間遅れ座標系で再構成した例。TPWSは歩行のフルード数から計算される快適な歩行速度で、図はゆっくり歩いた実験結果（20% TPWS）から早く歩いた実験結果（180% TPWS）までを示す<ref>Raffalt, P., Guul, M., Nielsen, A. et al. Economy, Movement Dynamics, and Muscle Activity of Human Walking at Different Speeds. Sci Rep 7, 43986 (2017). https://doi.org/10.1038/srep43986</ref>。]]
==出典==
{{Reflist|2}}
==参照文献==
''※文献内の複数個所に亘って参照したものを特に示す。''
*{{Cite book ja-jp
|author = S. ウィギンス
|translator = 今井 桂子・田中 茂・水谷 正大・森 真
|others = 丹羽 敏雄（監訳）
|title = 非線形の力学系とカオス
|url = https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b294656.html
|edition = 新装版
|publisher = 丸善出版
|year= 2013
|isbn = 978-4-621-06435-1
|ref = {{Sfnref|ウィギンス|2013}}
}}
*:［原著］{{Cite book
|author = S. Wigins
|year = 1990
|title = Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos
|publisher = Springer-Verlag New York
}}
*{{Cite book ja-jp
|title = カオス時系列解析の基礎と応用
|url = https://www.aihara.co.jp/~taiji/books/chaotic-time-series/
|editor = 合原 一幸
|author = 池口 徹・山田 泰司・小室 元政
|publisher = 産業図書
|year = 2000
|edition = 初版
|isbn = 978-4-7828-1010-1
|ref = {{Sfnref|合原（編）|2000}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = ピエール・ベルゲジェ；イヴェ・ポモウ；クリスチャン・ビダル
|translator = 相澤 洋二
|title = カオスの中の秩序 ―乱流の理解へ向けて
|publisher = 産業図書
|year = 1992
|isbn = 4-7828-0068-1
|ref = {{Sfnref|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992}}
}}
*:［原著］{{Cite book
|author = P. Bergé; Y. Pomeau; Ch. Vidal
|year = 1984
|title = L'ordre dans le chaos: vers une approche déterministe de la turbulence
|publisher = Hermann
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = 井上 政義・秦 浩起
|title = カオス科学の基礎と展開 ―複雑系の理解に向けて
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320033238
|publisher = 共立出版
|edition= 初版
|year = 1999
|isbn = 4-320-03323-X
|ref = {{Sfnref|井上・秦|1999}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|title = カオス ―カオス理論の基礎と応用
|chapter = カオスとフラクタル
|url = https://www.saiensu.co.jp/search/?isbn=978-4-7819-0592-1&y=1990
|editor2 = 合原 一幸
|author = 徳永 隆治
|series = Information & Computing 49
|publisher = サイエンス社
|year = 1990
|edition = 初版
|isbn = 4-7819-0592-7
|ref = {{Sfnref|徳永|1990}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = 松本 隆・徳永 隆治・宮野 尚哉・徳田 功
|title = カオスと時系列
|series = 情報数理シリーズB-7
|publisher = 培風館
|year = 2002
|edition = 初版
|isbn = 4-563-01497-4
|ref = {{Sfnref|松本・徳永・宮野・徳田|2002}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = Steven H. Strogatz
|translator = 田中 久陽・中尾 裕也・千葉 逸人
|title = ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス ―数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで
|url = https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b294857.html
|publisher = 丸善出版
|year = 2015
|isbn = 978-4-621-08580-6
|ref = {{Sfnref|Strogatz|2015}}
}}
*:［原著］{{Cite book
|author = Steven H. Strogatz
|year = 1994
|title = Nonlinear Dynamics and Chaos
|publisher = Westview Press
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = 伊東 敬祐
|title = カオスって何だろう ―予測できないカオスを予測する
|year = 1993
|publisher = ダイヤモンド社
|isbn = 4-478-83006-1
|ref = {{Sfnref|伊東|1993}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = デニー・グーリック
|translator = 前田 恵一・原山 卓久
|publisher = 産業図書
|title = カオスとの遭遇 ―力学系への数学的アプローチ
|edition = 初版
|year = 1995
|isbn = 4-7828-1009-1
|ref = {{Sfnref|グーリック|1995}}
}}
*:［原著］{{Cite book
|author = Denny Gulick
|year = 1992
|title = Encounters with Chaos
|publisher = McGraw-Hill
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = J. M. T. Thompson; H. B. Stewart
|translator = 橋口 住久
|others = 武者 利光（監訳）
|publisher = オーム社
|title = 非線形力学とカオス ―技術者・科学者のための幾何学的手法
|edition = 第1版
|year = 1988
|isbn = 4-274-07431-5
|ref = {{Sfnref|Thompson & Stewart|1988}}
}}
*:［原著］{{Cite book
|author = J. M. T. Thompson; H. B. Stewart
|year = 1986
|title = Nonlinear Dynamics and Chaos: Geometrical Methods for Engineers and Scientists
|publisher = John Wiley & Sons
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = 竹山 協三
|title = カオス ―自然の乱れ方
|url = https://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-8558-3.htm
|series = ポピュラー・サイエンス 58
|publisher = 裳華房
|year = 1991
|isbn = 4-7853-8558-8
|ref = {{Sfnref|竹山|1992}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = 佐野 雅己
|editor = 高安 秀樹
|title = フラクタル科学
|chapter = カオスの構造とフラクタル
|url = http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-10063-1/
|publisher = 朝倉書店
|year = 2001
|edition = 初版
|isbn = 4-254-10063-9
|ref = {{Sfnref|佐野|2001}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = Robert L. Devaney
|title = カオス力学系入門
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320017054
|translator = 後藤 憲一
|others = 國府 寛司・石井 豊 ・新居 俊作・木坂 正史（新訂版訳）
|publisher = 共立出版
|year = 2003
|edition = 新訂版
|isbn = 4-320-01705-6
|ref = {{Sfnref|Devaney|2003}}
}}
*:［原著］{{Cite book
|author = Robert L. Devaney
|year = 1989
|title = An Introduction to Chaotic Dynamical Systems
|edition = Second
|publisher = Westview Press
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = 上田 睆亮
|title = カオス現象論
|url = https://www.coronasha.co.jp/np/isbn/9784339026115/
|series = 現代非線形科学シリーズ12
|publisher = コロナ社
|year = 2008
|edition = 初版
|isbn = 978-4-339-02611-5
|ref = {{Sfnref|上田|2008}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = ジェイムズ・グリック
|translator = 大貫 昌子
|others = 上田 睆亮（監修）
|publisher = 新潮社
|title = カオス ―新しい科学をつくる
|series = 新潮文庫 ク-18-1
|year = 1991
|isbn = 4-10-236101-4
|ref = {{Sfnref|グリック|1991}}
}}
*:［原著］{{Cite book
|author = James Gleick
|year = 1987
|title = Chaos: Making A New Science
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = Morris W. Hirsch; Stephen Smale; Robert L. Devaney
|translator = 桐木 紳・三波 篤朗・谷川 清隆・辻井 正人
|title = 力学系入門 原著第2版 ―微分方程式からカオスまで
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320018471
|publisher = 共立出版
|edition = 初版
|year = 2007
|isbn = 978-4-320-01847-1
|ref = {{Sfnref|Hirsch, Smale & Devaney|2007}}
}}
*:［原著］{{Cite book
|author = Morris Hirsch; Stephen Smale; Robert Devaney
|year = 2004
|title = Differential Equations, Dynamical Systems & An Introduction to Chaos
|edition = Second
|publisher = Elsevier
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = 金子 邦彦
|title = 生命とは何か ―複雑系生命科学へ
|url = http://www.utp.or.jp/book/b305889.html
|publisher = 東京大学出版会
|year = 2009
|edition = 第2版
|isbn = 978-4-13-062310-0
|ref = {{Sfnref|金子|2009}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = 郡 宏・森田 善久
|title = 生物リズムと力学系
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320110007
|series = シリーズ・現象を解明する数学
|publisher = 共立出版
|year = 2011
|edition = 初版
|isbn = 978-4-320-11000-7
|ref = {{Sfnref|郡・森田|2011}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = 合原 一幸
|title = カオス ―まったく新しい創造の波
|url = https://bookclub.kodansha.co.jp/product?item=0000176272
|year = 1993
|publisher = 講談社
|isbn = 4-06-206287-9
|ref = {{Sfnref|合原|1993}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = E. Atlee Jackson
|translator = 田中 茂・丹羽 敏雄・水谷 正大・森 真
|title = 非線形力学の展望I ―カオスとゆらぎ
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320033252
|publisher = 共立出版
|year = 1994
|edition = 初版
|isbn = 4-320-03325-6
|ref = {{Sfnref|Jackson|1994}}
}}
*:［原著］{{Cite book
|author = Edwin Atlee Jackson
|year = 1991
|title = Perspectives of Nonlinear Dynamics 1
|publisher = Cambridge University Press
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = K.T.アリグッド・T.D.サウアー・J.A.ヨーク
|translator = 星野 高志・阿部 巨仁・黒田 拓・松本 和宏
|others = 津田 一郎（監訳）
|title = カオス 第1巻 力学系入門
|url = https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b302600.html
|publisher = 丸善出版
|year = 2012a
|isbn = 978-4-621-06223-4
|ref = {{Sfnref|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012a}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = K.T.アリグッド・T.D.サウアー・J.A.ヨーク
|translator = 星野 高志・阿部 巨仁・黒田 拓・松本 和宏
|others = 津田 一郎（監訳）
|title = カオス 第2巻 力学系入門
|url = https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b294298.html
|publisher = 丸善出版
|year = 2012b
|isbn = 978-4-621-06279-1
|ref = {{Sfnref|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012b}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = K.T.アリグッド・T.D.サウアー・J.A.ヨーク
|translator = 星野 高志・阿部 巨仁・黒田 拓・松本 和宏
|others = 津田 一郎（監訳）
|title = カオス 第3巻 力学系入門
|url = https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b294302.html
|publisher = 丸善出版
|year = 2012c
|isbn = 978-4-621-06540-2
|ref = {{Sfnref|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012c}}
}}
*:［原著］{{Cite book
|author = Kathleen T. Alligood; Tim D. Sauer; James A. Yorke
|year = 1997
|title = Chaos: An Introduction to Dynamical Systems
|publisher = Springer-Verlag New York
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = 合原 一幸・黒崎 政男・高橋 純
|title = 哲学者クロサキと工学者アイハラの神はカオスに宿りたもう
|publisher = アスキー
|year = 1999
|edition = 初版
|isbn = 4-7561-3133-6
|ref = {{Sfnref|合原・黒崎・高橋|1999}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = Kenneth Falconer
|translator = 服部 久美子・村井 浄信
|title = フラクタル幾何学
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320018013
|series = 新しい解析学の流れ
|publisher = 共立出版
|year = 2006
|isbn = 4-320-01801-X
|ref = {{Sfnref|Falconer|2006}}
}}
*:［原著］{{Cite book
|author = Kenneth Falconer
|year = 2003
|title = Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications
|edition = 2nd
|publisher = John Wiley & Sons
}}
*{{Cite book ja-jp
|title = 基礎からの力学系 ―分岐解析からカオス的遍歴へ
|url = https://www.saiensu.co.jp/search/?isbn=978-4-7819-1118-2&y=2005
|author = 小室 元政
|publisher=サイエンス社
|year = 2005
|edition = 新版
|isbn = 4-7819-1118-8
|ref = {{Sfnref|小室|2005}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author= 久保 泉・矢野 公一
|title= 力学系
|url = https://www.iwanami.co.jp/book/b355613.html
|publisher= 岩波書店
|edition= オンデマンド版
|year= 2018
|isbn= 978-4-00-730742-3
|ref= {{Sfnref|久保・矢野|2018}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = 松葉 育雄
|title = 力学系カオス
|url = https://www.morikita.co.jp/books/book/599
|publisher = 森北出版
|edition = 第1版
|year = 2011
|isbn = 978-4-627-15451-3
|ref = {{Sfnref|松葉|2011}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = 早間 慧
|title = カオス力学の基礎
|url = https://www.gensu.jp/product/%e3%82%ab%e3%82%aa%e3%82%b9%e5%8a%9b%e5%ad%a6%e3%81%ae%e5%9f%ba%e7%a4%8e/
|year = 2002
|edition = 改訂2版
|publisher = 現代数学社
|isbn = 4-7687-0282-1
|ref = {{Sfnref|早間|2002}}
}}
== 外部リンク ==
[[File:First attempt with Chaoscope.jpg|thumb|300px|Chaoscope を使って描かれたアトラクター]]
*{{Commonscat-inline}}
*{{Scholarpedia|title=Attractor|urlname=Attractor|curator=John W. Milnor}}
*{{Scholarpedia|title=Basin of attraction|urlname=Basin_of_attraction|curator=Edward Ott}}
*{{Scholarpedia|title=Attractor dimensions|urlname=Attractor_dimensions|curator=Edward Ott}}
*{{Scholarpedia|title=Attractor reconstruction|urlname=Attractor_reconstruction|curator=Timothy D. Sauer}}
*{{MathWorld|title=Attractor|urlname=Attractor}}
*{{MathWorld|title=Basin of Attraction|urlname=BasinofAttraction}}
*[http://chaoscope.org/ Chaoscope] - ストレンジアトラクターの3D画像を描けるフリーウェア
{{DEFAULTSORT:あとらくたあ}}
[[Category:力学系]]
[[Category:極限集合]]
[[Category:数学に関する記事]]
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