「正則性公理」の版間の差分

 

==定義==

<math>\forall A(A\neq\varnothing\Rightarrow\exists x\in A\forall t\in A(t\notin x))</math>

 

 

*[[任意]]の空でない集合{{mvar|x}}に対して、<math> \exists{y}{\in}x,x{\cap}y=0</math>

*<math>\forall x</math>について、{{math|∈}}が{{mvar|x}}上[[整礎関係]]

*{{Math|{{Mvar|V}}{{=}}{{Mvar|WF}}}}

 

ここで、{{mvar|V}}は[[集合論]]の[[宇宙 (数学)|宇宙]]を指し、{{mvar|WF}}は[[整礎的集合]]全体の[[クラス (集合論)|クラス]]（[[フォン・ノイマン宇宙]]）を指す。

 

 

# <math>R(0)=0</math>

[[ZF公理系]]の他の[[公理系]]から得られる種々の[[集合の代数学|集合演算]]([[順序集合|対集合]]、[[和集合]]、[[冪集合]]) の結果としての集合は常に{{Mvar|WF}}内に含まれるため、{{mvar|V{{=}}WF}}の[[仮定]]は全ての集合を{{math|0}}に通常の[[集合演算]]を施すことによって得られるものだけに[[制限]]することを[[主張]]している。したがって、例えば{{math|{{mvar|x}}{{=}} &lbrace;{{mvar|x}}&rbrace;}}のような集合や{{math|{{mvar|x}}∈{{mvar|y}}}}かつ{{math|{{mvar|y}}∈{{mvar|x}}}}なる集合は[[正面性|正則性]]の公理の下では集合にはなり得ない。

 

{{mvar|WF}}は通常の[[演算|集合演算]]に関して閉じているため、{{mvar|WF}}公理系から得られる全ての真なる命題が[[ZF公理系|{{Mvar|ZF}}公理系]]においても[[真]]となることが分かる。このため、{{mvar|WF}}公理系内で通常の数学を[[展開]]できることが知られている。実際、{{math|{{mvar|x}}{{=}}<nowiki>{</nowiki>{{mvar|x}}<nowiki>}</nowiki>}}のような集合が存在するか否かは[[ZF公理系|{{Mvar|ZF}}公理系]]の中では導けない独立な[[命題]]だが、通常の数学を展開する場合にはこのような集合が現れることはない。その一方で、正則性の公理は必ずしも{{Mvar|ZF}}公理系を[[拡張]]するために必要なものではないが、ある命題が{{Mvar|ZF}}公理系と[[独立]]であることを[[証明 (数学)|証明]]する際にその[[効果]]を発揮することがある。

 

== 性質 ==

 

<math>x\in y</math> ならば <math>x \in R(\alpha) = \{x \in WF : \mathrm{rank}(x)< \alpha\}</math>だから<math>\mathrm{rank}(x)< \alpha.</math>

 

== 参考文献 ==

*{{Citation|last=Halmos|first=Paul R.|author-link=:en:Paul Halmos|date=2015-04-22|title=Naive Set Theory|publisher=Benediction Classics|edition=paperback|isbn=978-1-78139-466-3}}

*{{Cite book|和書|author=ポール・ハルモス|others=[[富川滋]] 訳|date=1975|title=[[素朴集合論]]|publisher=[[ミネルヴァ書房]]|isbn=4-623-00986-6|ref={{Harvid|ハルモス|1975}}}}

==関連項目==

*[[整礎的集合]]