「群の直積」の版間の差分
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==性質==
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*群 ''G'' と ''H'' の直積 ''G'' × ''H'' は、{(''g'', 1) | ''g'' ∈ ''G''} と {(1, ''h'') | ''h'' ∈ ''H''} を[[正規部分群]]として含む（ただし 1 はそれぞれの[[単位元]]）。これらはそれぞれ ''G'', ''H'' と[[群同型|同型]]である。▼
=== 直積因子 ===
▲
==== 証明 ====
<math>g \in G,\ (g^\prime, h^\prime) \in G \times H</math> とすると，次の等式が成り立つ。<math display="block">(g^\prime, h^\prime)(g, 1_H)(g^\prime, h^\prime)^{-1} = (g^\prime g {g^\prime}^{-1}, 1_H)</math><math>h \in H</math> についても同様である。よって，主張が従う<ref name=":0" />．
=== 可換性 ===
==== 証明 ====
<math>g \in G,\ h \in H</math> とすると，次が成り立つ。<math display="block">(g, h) = (g, 1_H)(1_G, h) = (1_G, h)(g, 1_H)</math>したがって，主張が従う<ref name=":0">{{Cite book|title=Daisūgaku. 001.|url=https://www.worldcat.org/oclc/836343697|publisher=Nihonhyōronsha|date=2010|location=Tōkyō|isbn=4-535-78659-3|oclc=836343697|others=Akihiko Yukie, 雪江明彦}}</ref>．
=== その他 ===
*群 ''G'', ''H'', ''K'' に対し、次の同型が成り立つ。<math display="block">(G\times H)\times K\cong G\times(H\times K)\cong G\times H\times K</math>
*（'''[[普遍性]]'''）群 ''G''<sub>''i''</sub> (''i'' ∈ ''I'') が与えられているとする。π<sub>''j''</sub> : Π<sub>''i'' ∈ ''I''</sub> ''G''<sub>''i''</sub> → ''G''<sub>''j''</sub> (''j'' ∈ ''I'') を自然な射影とする。このとき任意の群 ''H'' と任意の[[群準同型|群準同型写像]] ''f''<sub>''j''</sub> : ''H'' → ''G''<sub>''j''</sub> (''j'' ∈ ''I'') に対して、一意的な準同型 φ : ''H'' → Π<sub>''i'' ∈ ''I''</sub> ''G''<sub>''i''</sub> が存在して、''f''<sub>''j''</sub> = π<sub>''j''</sub>∘φ (''j'' ∈ ''I'') が成り立つ。つまり群の直積は群のなす[[圏 (数学)|圏]]の[[積 (圏論)|直積]]である。
▲*群G×Hにおいて群Gの任意の元と群Hとの任意の元は可換である。
==参考文献==
{{参照方法|date=2017年7月|section=1}}
* 雪江 明. (2010). 代数学. 日本: 日本評論社.
*森田康夫『代数概論』、数学選書9（第12版）、裳華房、ISBN 978-4-7853-1311-1
*Serge Lang, ''Algebra'', GTM '''211''' (Rev. 3rd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-95385-4
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