積公式

数学の代数的整数論における積公式（せきこうしき、英: product formula）は、与えられた数体における全ての絶対値を結びつけるものである。

有理数体 $ℚ$ に対しては、

\prod _{p}{\mathopen {|}}x{\mathclose {|}}_{p}=1\qquad (\forall x\in \mathbb {Q} ^{*})

となる^{[注 1]}という意味において積公式が成り立つ。ただし、上記の積は

p

が任意の素数または

\infty

を亙る範囲でとるものとし、各

|•| p

は

p

が素数のとき

p

p = \infty

のとき通常の絶対値を表すものとする。上記の式は自然な仕方で代数体へ一般化することができる。

注編集

^ 左辺の積を陽に書けば^[1]、有理数 $x$ を既約分数として書いて分子分母をそれぞれ素因数分解しておくとき、各素数 $p$ についてみれば、 $p$ の肩に乗っている冪指数の符号を逆にしたものが $p$ -進絶対値の値に等しいという関係を述べている。

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