q-類似

q-類似（きゅーるいじ、英: q-analog, q-analogue）とは、理論に q → 1 の極限で、元の理論に一致するように径数 q を導入するような拡張のことをいう。q-拡張（英: q-extension）などとも呼ばれる。

概要

q-数

最も基本的な q-数 [n]_q とは、自然数 n の q-類似であって、q → 1 の極限で [n]_q → n となるように

$[n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=\sum _{k=0}^{n-1}q^{k}$

と定義される。ただし、文献によっては、とくに量子群の文脈では、$q\mapsto q^{-1}$ で不変な

$[n]_{q}:={\frac {q^{n}-q^{-n}}{q-q^{-1}}}$

あるいは

$[n]_{q}:={\frac {q^{n/2}-q^{-n/2}}{q^{1/2}-q^{-1/2}}}$

と定義される。この記事では最初の定義を用いるが、他の定義でも後述の q-階乗やq-二項係数は q-数を用いて同様に定義される。

q-階乗

またq-階乗 [n]_q! は、q-数によって

$[n]_{q}!:=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}$

と定義される。ただし (q; q)_n はq-ポッホハマー記号を表す。

このとき S_n を n 次の対称群、inv(σ) を置換 σ の転倒数として、

$[n]_{q}!=\sum _{\sigma \in S_{n}}q^{\operatorname {inv} (\sigma )}$

が成り立つ。これは $q\to 1$ の極限で、通常の階乗 $n!$ が $n$ 個のものを並べる順列の総数を表すことに対応している。 また有限体 F_q 上の一般線型群 GL(n, q) の位数は

$\vert \operatorname {GL} (n,q)\vert =[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{\binom {n}{2}}$

と表せる。

q-二項係数

q-二項係数は、二項係数の q-類似で、

${\binom {n}{k}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}$

によって定義される。q が素数のべきのとき、q-二項係数は有限体 F_q 上の n 次元線型空間内における k 次元部分空間の数に等しい。

より一般に q-多項係数は n = k₁ + … + k_m のとき

${\binom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{m}}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[k_{1}]_{q}!\dotsm [k_{m}]_{q}!}}$

によって定義される。 このとき

${\binom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{m}}}_{q}={\binom {n}{k_{1}}}_{q}{\binom {n-k_{1}}{k_{2}}}_{q}\dotsm {\binom {n-k_{1}-\dotsb -k_{m-1}}{k_{m}}}_{q}$

${\binom {n}{k}}_{q}={\binom {n-1}{k}}_{q}+q^{n-k}{\binom {n-1}{k-1}}_{q}$

のようなよく知られた等式の類似が成り立つ。

q-微分

q-微分は微分の q-類似で、任意の関数 ƒ(x) について q-微分を

$d_{q}(f(x))=f(qx)-f(x)$

によって定義する。さらに導関数の q-類似である q-導関数は

$D_{q}(f(x))={\frac {d_{q}(f(x))}{d_{q}(x)}}={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}$

によって定義される。

参考文献

• Stanley, R. P. (2012). Enumerative Combinatorics. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. I (Second ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-01542-5. https://books.google.co.jp/books?id=-A3sbo0ZUKcC&lpg=PP1&hl=ja&pg=PA54#v=onepage&q&f=false 

関連項目

• 一元体