Sumset

加法的組合せ論において、加法群 G の 2つの部分集合 A と B の和（わ、英: sum）とは、A と B の元ごとの和全体の成す集合

$A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}$

を言う。同じものを、アフィン幾何学周辺分野ではミンコフスキー和 (Minkowski sum) とも呼ぶ。例えば線型代数学において、二つの線型部分空間 U, V の和空間(sum space) U + V はこの意味の和集合として定義される。

A の n-重反復和集合 (n-fold iterated sumset)（n-倍集合）とは

$nA=\underbrace {A+\dotsb +A} _{n}$

のこととする（ここで、n は右辺の項数である）。

加法的組合せ論や加法的数論の多くの問題や結果を、この和集合を用いて言い表すことができる。例えば、ラグランジュの四平方定理は次の形で表すことができる。

$4\Box =\mathbb {N} .$

ここに、$\Box$ は平方数全体の成すの集合、N は自然数全体の成す集合である。多くの研究がなされる主題として、"small doubling"（小さい倍化）を持つ集合（すなわち、2-倍集合 A + A の大きさが（A に比べて）小さくなるような集合 A）の問題がある。フレイマンの定理(Freiman's theorem)の例を参照。

関連項目

• ミンコフスキー演算(Minkowski addition/subtraction)
• 制限和集合(Restricted sumset)
• シドン集合(Sidon set)
• sum-free set
• シュニレルマン密度
• シャプレー・フォークマンの補題(Shapley–Folkman lemma)

参考文献

• Henry Mann (1976). Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory (Corrected reprint of 1965 Wiley ed.). Huntington, New York: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-88275-418-1. http://www.krieger-publishing.com/subcats/MathematicsandStatistics/mathematicsandstatistics.html 
• Nathanson, Melvyn B. (1990). “Best possible results on the density of sumsets”. In Berndt, Bruce C.; Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini et al.. Analytic number theory. Proceedings of a conference in honor of Paul T. Bateman, held on April 25-27, 1989, at the University of Illinois, Urbana, IL (USA). Progress in Mathematics. 85. Boston: Birkhäuser. pp. 395–403. ISBN 0-8176-3481-9. Zbl 0722.11007 
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics. 165. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94655-1. Zbl 0859.11003 
• Terence Tao and Van Vu, Additive Combinatorics, Cambridge University Press 2006.

外部リンク

• Noe, Tony. "Sumset". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Minkowski Sum". mathworld.wolfram.com (英語).
• sumset - PlanetMath.org（英語）
• Minkowski sum - PlanetMath.org（英語）