イジング模型

統計力学においてイジング模型（イジングもけい、英: Ising model、イジングモデルとも言う）とは、二つの配位状態をとる格子点から構成され、最隣接する格子点のみの相互作用を考慮する格子模型である。二つの配位状態をスピンだとみなして強磁性体のモデルとして解釈されることが多いが、二元合金、格子気体のモデルとしても用いられる。

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スピン系のモデルとしては非常に単純化されたモデルであるが、相転移現象を記述可能なモデルであり、多くの物理学者によって研究されてきた。単純なモデルであるため厳密な解析が可能であり、特に外部磁場の無い二次元イジング模型は厳密解が得られる可解格子模型の一種である。

イジング模型は1920年にドイツの物理学者ヴィルヘルム・レンツによって提案された。イジング模型という名前はレンツの博士課程の指導学生でありこの模型の研究を行っていたエルンスト・イジングに因んでいる。1944年にラルス・オンサーガーによって与えられた二次元イジング模型の厳密解は統計力学における金字塔の一つとされる。

概要

イジング模型のハミルトニアンは次式で与えられる。J は交換相互作用定数、h は外部磁場である。

${\mathcal {H}}=-J\sum _{\left\langle i,j\right\rangle }\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}-h\sum _{i}\sigma _{i}$

σ_i は（結晶）格子点 i 上のスピンで、+1（上向き）と -1（下向き）の2状態のどちらかを取る。1項目は隣接スピン同士の向きが揃おうとする相互作用を表し、$\left\langle i,j\right\rangle$は最隣接する格子点のペアについてのみ和を取ることを意味する。2項目は外部磁場があるときに各スピンが外部磁場と同じ方向に配向しようとする作用を表す。

イジングの提案の段階で、一次元（格子系）での厳密な解は求められていて、有限温度での相転移を起こさないことが示されていた。その後、1944年にラルス・オンサーガーが二次元イジング模型の厳密解を求めた。これは相転移を起こし、この結果は相転移現象の記述と理解のために大変重要な役割を果たしている。オンサーガーの方法以外にも外部磁場のない二次元イジング模型の厳密解を求める方法がいくつか知られている。しかし、外部磁場のある場合の厳密解は得られていない。

三次元イジング模型の厳密解は知られていないが、共形ブートストラップを用いて解析的に臨界指数を求める試みがなされている 。

厳密解以外にも平均場近似や繰り込み群、級数展開（低温展開、高温展開）の手法などによる近似解が知られている。と、これらを用いた数値計算手段を使って近似的に解かれる。

この模型は、結晶表面のラフニング転移や合金の規則‐不規則（秩序‐無秩序）転移、異方性の大きな磁性の問題などに応用されている。

1次元モデル

相互作用の減衰が α > 1 で $J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }$ であれば、熱力学的極限が存在する。

• 1 < α < 2 で強磁性の相互作用 $J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }$ の場合について、ダイソン(Dyson)は階層を比較することにより充分小さな温度で相転移があることを証明した。

• 強磁性の相互作用 $J_{ij}\sim |i-j|^{-2}$ の場合について、フレーリッヒ(Fröhlich)とスペンサー(Spencer)は（階層の場合と対照的に）充分小さな温度で相転移があることを示した。

• α > 2 の相互作用 $J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }$ の場合（このことは有限の範囲の相互作用を意味する）においては、自由エネルギー(free energy)が熱力学パラメータに対して解析的であるので、正の温度（有限の β）に対して相転移がない。

• 近接相互作用の場合についてはイジング(E. Ising)がモデルの完全解を示した。任意の正の温度（有限の β）で、自由エネルギーは熱力学的パラメータの中で解析的であり、省略された 2点相関函数は指数的に急速に減少する。温度 0 （β が無限大）では、第二種の相転移がある。自由エネルギーは無限大となり、領略された 2点スピンの相関函数は減少しない（定数のままである）。従って、T = 0 はこの場合の臨界温度であり、スケーリング公式を満す。

イジングによる完全解

（周期的境界条件、または、自由境界条件）近接相互作用の場合、完全解が存在する。周期境界条件を持つ格子 L の上の1次元イジングモデルのエネルギーは、

$${\mathcal {H}}(\sigma )=-J\sum _{i=1,\ldots ,L}\sigma _{i}\sigma _{i+1}-h\sum _{i}\sigma _{i}$$

である。ここに J と h は、この単純化された場合には J は定数で近隣間の相互作用の強さを表し、h は格子に適用された定数の外場であるので、任意の数値で問題ない。従って、自由エネルギーは、

$${\begin{aligned}f(\beta ,h)&=-\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{\beta L}}\ln(Z(\beta ))\\&=-{\frac {1}{\beta }}\ln \left(e^{\beta J}\cosh \beta h+{\sqrt {e^{2\beta J}(\sinh \beta h)^{2}+e^{-2\beta J}}}\right)\end{aligned}}$$

であり、スピン-スピン相関函数は、

$$\langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle -\langle \sigma _{i}\rangle \langle \sigma _{j}\rangle =C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|}$$

である。ここに C(β) と c(β) は T > 0 の正の値の函数である。しかし、T → 0 とすると、逆の相関の長さ c(β) は 0 となる。

参考文献

• Lars Onsager: "Crystal statistics. I. A two-dimensional model with an order-disorder transition", Phys. Rev. Vol.65, pp.117-149 (1944).
• Stephen G. Brush, "History of Lentz-Ising Model," Rev. Mod. Phys., 39, p.883 (1967) doi:10.1103/RevModPhys.39.883
• Somendra M. Bhattacharjee, Avinash Khare, "Fifty Years of the Exact Solution of the Two-Dimensional Ising Model by Onsager," Curr.Sci., 69, p. 816 (1995) arXiv:cond-mat/9511003
• Martin Niss, "History of the Lenz-Ising Model 1920–1950: From Ferromagnetic to Cooperative Phenomena," Arch. Hist. Exact Sci., 59, p. 267 doi:10.1007/s00407-004-0088-3
• 小口武彦 『磁性体の統計理論 』 裳華房 (1970) ISBN 978-4785323127
• I. A. Stepanov. Exact Solutions of the One-Dimensional, Two-Dimensional, and Three-Dimensional Ising Models. – Nano Science and Nano Technology: An Indian Journal. 2012. Vol. 6. No 3. 118 - 122. The paper is on the Journal’s website with a free access.

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