エルゴード理論は確率論にもとづいた力学系の一つの分野である。
物理のみならず数論など数学の他分野への応用も多い。
上記のエルゴード仮説との直接の関係は薄い。
重要な概念
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エルゴード理論での基本的な事柄を説明する。
主に離散力学系を扱うが、連続力学系についても同様のことを考えることが出来る。
可測力学系
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確率空間 を考える。即ち、X をある集合、 を X 上の完全加法族、そしてμを確率測度とする。
さらに を -可測な写像とする。
全ての に対して を満たすとき、μは(T-)不変測度であるという。
このとき、 を可測力学系と呼ぶ。
ここでの興味の対象は、任意の始点 からの軌道 の振舞いである。
エルゴード性
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T-不変な の部分集合を とする。
ある可測力学系 が以下の同値な条件の一つを満たすときエルゴード的であるという。
- 任意の に対して、 または が成り立つ。
- 任意の を満たす に対して、 または が成り立つ。
- 任意の を満たす に対して、ある があり、 が成り立つ。
- 任意の に対して、 が成り立つならば、 は( の意味で)定数関数である。
- 任意の に対して が成り立つ。
1.は、測度論の視点から見れば空間 X の自明でないT-不変な部分空間を持たないということを意味している。
3.で の場合はポアンカレの回帰定理である。
5.は混合性と呼ばれる性質の一つである。
このような力学系をエルゴード的と呼ぶ結縁は各種エルゴード定理にある。
エルゴード性は重要な概念であるが、エルゴード理論で扱う力学系はエルゴード的な物に限られるわけではない。
エルゴード性より強力な性質としては以下のものがある。
任意の に対して
が成り立つとき、 は弱混合的であるという。
また、任意の に対して が成り立つとき、 は強混合的であるという。
エルゴード定理
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最も代表的なのは以下の定理である。
バーコフのエルゴード定理: を可測力学系とする。
任意の に対して、ある を満たす が存在し
-
がμ-殆ど全ての で成り立つ。
さらに、μがエルゴード的なら右辺を と定数関数にとれる。
以下に可測力学系の例を示す。
- を 上のボレル集合族、 を 上のルベーグ測度とする。さらに に対して、写像 を と定義する。このとき可測力学系 は のときに限ってエルゴード的である。
- に対して写像 を と定義する。このとき可測力学系 はエルゴード的である。
- パイこね変換(Baker's map)
- 猫マップ(Arnold's cat map)
連分数への応用
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写像 を を の小数部分に写す写像とする。
つまり
-
と定義する。この写像は連分数変換やGauss写像と呼ばれることがある。ここで は床関数である。
このとき を と定めると、これは と の連分数表現を与える。
つまり任意の は
-
と表される。
さらに、 上のボレル確率測度 を
-
と定義する。これはガウス測度と呼ばれることがある。
この は -不変であるので は可測力学系となっている。
この力学系はエルゴード的であることも知られている。