オイラー予想
オイラー予想（オイラーよそう、Euler's sum of powers conjecture）とは、スイスの数学者レオンハルト・オイラーが提唱した、フェルマーの最終定理を発展させた数学的予想である。現在では、反例によってこの予想は偽である（正しくない）ことが証明されている。
予想の内容 編集
オイラーはフェルマーの最終定理の n = 3 のとき、すなわち
- x3 + y3 = z3
を満たす自然数の解 (x, y, z) は存在しないことを証明した。 ここから、フェルマーの最終定理を拡張して、
- x4 + y4 + z4 = w4
を満たす自然数の解 (x, y, z, w) は存在しない、と予想した。
同様に
- x5 + y5 + z5 + w5 = v5
- x6 + y6 + z6 + w6 + v6 = u6
を満たす自然数の解も存在しない、とした。
すなわち、n > 3 とすると、n − 1 個の n 乗数の和を1個の n 乗数で表すことはできないということを示唆した。 これが、オイラー予想である。
歴史 編集
オイラーの発表以降、比較的小さな自然数では反例を見つけることができず、長い間正しいと信じられてきた。
しかし1966年にレオン・J・ランダーとトーマス・R・パーキンによって n = 5 の場合の反例として解 (27, 84, 110, 133, 144) が発見され、275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445 が成り立つことが確認された。これには当時世界最速のスーパーコンピュータであったCDC 6600が用いられた。
この発見から n = 4 の場合も反例がある可能性があるとして研究が続けられ、1986年にハーバード大学のノーム・エルキーズ(Noam Elkies)が、楕円曲線論とコンピュータを用いて発見した。その反例は 26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734 という複雑なものだった。この発見と同時に解は無限に存在することも確認され、約200年間未解決となっていたオイラー予想は、否定的に解決された。
また、2004年にはジム・フライによってn=5の場合の反例852825 + 289695 + 31835 + 555 = 853595が発見された。
例 編集
箇条書きされている式は、n − 1 個の n 乗数の和を1個の n 乗数で表すオイラー予想の反例である。 そうではない式は、n 個の n 乗数の和を1個の n 乗数で表すオイラー予想に従う例である。
k = 4 編集
- 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814 (R. Frye, 1988)[1]
- 304 + 1204 + 2724 + 3154 = 3534 (R. Norrie, 1911)[2]
（R. Norrie によって最小の解であることが示されている。）
k = 5 編集
- 195 + 435 + 465 + 475 + 675 = 725 (Lander, Parkin, Selfridge, smallest, 1967)[2]
- 215 + 235 + 375 + 795 + 845 = 945 (Lander, Parkin, Selfridge, second smallest, 1967)[2]
- 75 + 435 + 575 + 805 + 1005 = 1075 (Sastry, 1934, third smallest)[2]
k = 7 編集
- 1277 + 2587 + 2667 + 4137 + 4307 + 4397 + 5257 = 5687 (M. Dodrill, 1999)[6]
k = 8 編集
- 908 + 2238 + 4788 + 5248 + 7488 + 10888 + 11908 + 13248 = 14098 (S. Chase, 2000)[7]
関連項目 編集
参考文献 編集
- ^ Elkies, Noam (1988). “On A4 + B4 + C4 = D4” (PDF). Mathematics of Computation 51 (184): 825–835. doi:10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9. JSTOR 2008781. MR0930224.
- ^ a b c d Lander, L. J.; Parkin, T. R.; Selfridge, J. L. (1967). “A Survey of Equal Sums of Like Powers”. Mathematics of Computation 21 (99): 446–459. doi:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0. JSTOR 2003249.
- ^ Burkard Polster (2018年3月24日). “Euler's and Fermat's last theorems, the Simpsons and CDC6600”. 2018年3月24日閲覧。
- ^ Matheorld: Diophantine Equation--5th Powers
- ^ A Table of Fifth Powers equal to Sums of Five Fifth Powers
- ^ Matheorld: Diophantine Equation--7th Powers
- ^ Matheorld: Diophantine Equation--8th Powers