数学においてカルタンの定理(カルタンのていり、: Cartan's theorem)とは、1951年頃にアンリ・カルタンによって証明された、シュタイン多様体 X 上のある連接層 F に関する定理で、A と B の二種類が存在する。それらはいずれも多変数複素函数論に対する応用や、層コホモロジーの一般的な発展に対して意義のあるものである。

カルタンの定理 AF大域切断によって張られる層である。

定理 B は、以下のようなコホモロジーにおける用語で表現される(これは Cartan (1953, p.51) が J.-P. Serre に帰するものとしている式である):

カルタンの定理 B:すべての p > 0 に対して H p(X, F) = 0 である。

代数幾何学における連接層に対する同様の性質は、Xアフィンスキームである場合に、Serre (1957) によって示されている。定理 B と類似のそのような定理は、以下のように記述される (Hartshorne 1977, Theorem III.3.7):

定理 B(スキーム論的表現)X をアフィンスキームとし、FX 上のザリスキー位相に対する OX-加群準連接層とする。このとき、すべての p > 0 に対して H p(X, F) = 0 である。

以上の定理は、多くの重要な場面で応用される。素朴に考えると、これらの定理は、シュタイン多様体 X の閉複素部分多様体 Z 上の正則函数は、X 全体上の正則函数に拡張可能であることを意味している。より深い段階では、これらの定理はGAGAの定理を証明するためにジャン=ピエール・セールによって利用された。

カルタンの定理 B は、複素多様体 X 上のすべての連接層 F(resp. ネータースキーム X 上の準連接層 F)に対して H 1(X, F) = 0 であるなら、X はシュタイン多様体(resp. アフィン多様体)であるという明確な結果である。(Serre 1956) (resp. (Serre 1957) and Hartshorne (1977, Theorem III.3.7)) を参照されたい。

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参考文献 編集