函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
カーレマン行列 は次のように定義される。
M
[
f
]
j
k
=
1
k
!
[
d
k
d
x
k
(
f
(
x
)
)
j
]
x
=
0
,
{\displaystyle M[f]_{jk}={\frac {1}{k!}}\left[{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(f(x))^{j}\right]_{x=0},}
したがって、次の（テイラー級数 の）方程式が満たされる。
(
f
(
x
)
)
j
=
∑
k
=
0
∞
M
[
f
]
j
k
x
k
.
{\displaystyle (f(x))^{j}=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{jk}x^{k}.}
例えば、
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
M
[
f
]
1
,
k
x
k
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{1,k}x^{k}}
のように、
M
[
f
]
{\displaystyle M[f]}
[
1
,
x
,
x
2
,
x
3
,
…
]
⊤
{\displaystyle [1,x,x^{2},x^{3},\ldots ]^{\top }}
転置 ）のドット積で与えられる。
M
[
f
]
{\displaystyle M[f]}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
2
=
∑
k
=
0
∞
M
[
f
]
2
,
k
x
k
.
{\displaystyle f(x)^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{2,k}x^{k}.}
そして、
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
M
[
f
]
{\displaystyle M[f]}
f
(
x
)
0
=
1
=
∑
k
=
0
∞
M
[
f
]
0
,
k
x
k
=
1
+
∑
k
=
1
∞
0
⋅
x
k
{\displaystyle f(x)^{0}=1=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{0,k}x^{k}=1+\sum _{k=1}^{\infty }0\cdot x^{k}}
が成り立つ。
したがって、
M
[
f
]
{\displaystyle M[f]}
[
1
,
x
,
x
2
,
…
]
⊤
{\displaystyle [1,x,x^{2},\ldots ]^{\top }}
[
1
,
f
(
x
)
,
f
(
x
)
2
,
…
]
⊤
{\displaystyle [1,f(x),f(x)^{2},\ldots ]^{\top }}
M
[
f
]
⋅
[
1
,
x
,
x
2
,
x
3
,
…
]
⊤
=
[
1
,
f
(
x
)
,
(
f
(
x
)
)
2
,
(
f
(
x
)
)
3
,
…
]
⊤
.
{\displaystyle M[f]\cdot [1,x,x^{2},x^{3},\ldots ]^{\top }=[1,f(x),(f(x))^{2},(f(x))^{3},\ldots ]^{\top }.}
ベル行列
編集
函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
ベル行列 （Bell matrix）は次のように定義される。
B
[
f
]
j
k
=
1
j
!
[
d
j
d
x
j
(
f
(
x
)
)
k
]
x
=
0
.
{\displaystyle B[f]_{jk}={\frac {1}{j!}}\left[{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}(f(x))^{k}\right]_{x=0}.}
したがって次の方程式が満たされる。
(
f
(
x
)
)
k
=
∑
j
=
0
∞
B
[
f
]
j
k
x
j
.
{\displaystyle (f(x))^{k}=\sum _{j=0}^{\infty }B[f]_{jk}x^{j}.}
これは上述のカーレマン行列の転置 である。
ジャボチンスキー行列
編集
エリ・ジャボチンスキー（Eri Jabotinsky）は 1947 年、多項式の畳み込みを表現する目的で行列の概念を開発した。このため何人かの研究者はベル行列のことをジャボチンスキー行列 と呼んでおり、今後この名がより正式なものになる可能性もある。
行列の性質
編集
定数のカーレマン行列は次で与えられる。
M
[
a
]
=
(
1
0
0
⋯
a
0
0
⋯
a
2
0
0
⋯
⋮
⋮
⋮
⋱
)
{\displaystyle M[a]={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots \\a&0&0&\cdots \\a^{2}&0&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}
恒等函数のカーレマン行列は次で与えられる。
M
x
[
x
]
=
(
1
0
0
⋯
0
1
0
⋯
0
0
1
⋯
⋮
⋮
⋮
⋱
)
{\displaystyle M_{x}[x]={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots \\0&1&0&\cdots \\0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}
定数の和に関するカーレマン行列は次で与えられる。
M
x
[
a
+
x
]
=
(
1
0
0
⋯
a
1
0
⋯
a
2
2
a
1
⋯
⋮
⋮
⋮
⋱
)
{\displaystyle M_{x}[a+x]={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots \\a&1&0&\cdots \\a^{2}&2a&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}
定数倍に関するカーレマン行列は次で与えられる。
M
x
[
c
x
]
=
(
1
0
0
⋯
0
c
0
⋯
0
0
c
2
⋯
⋮
⋮
⋮
⋱
)
{\displaystyle M_{x}[cx]={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots \\0&c&0&\cdots \\0&0&c^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}
一次函数のカーレマン行列は次で与えられる。
M
x
[
a
+
c
x
]
=
(
1
0
0
⋯
a
c
0
⋯
a
2
2
a
c
c
2
⋯
⋮
⋮
⋮
⋱
)
{\displaystyle M_{x}[a+cx]={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots \\a&c&0&\cdots \\a^{2}&2ac&c^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}
函数
f
(
x
)
=
∑
k
=
1
∞
f
k
x
k
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}x^{k}}
M
[
f
]
=
(
1
0
0
⋯
0
f
1
f
2
⋯
0
0
f
1
2
⋯
⋮
⋮
⋮
⋱
)
{\displaystyle M[f]={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots \\0&f_{1}&f_{2}&\cdots \\0&0&f_{1}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}
函数
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
f
k
x
k
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}x^{k}}
M
[
f
]
=
(
1
0
0
⋯
f
0
f
1
f
2
⋯
f
0
2
2
f
0
f
1
f
1
2
+
2
f
0
f
2
⋯
⋮
⋮
⋮
⋱
)
{\displaystyle M[f]={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots \\f_{0}&f_{1}&f_{2}&\cdots \\f_{0}^{2}&2f_{0}f_{1}&f_{1}^{2}+2f_{0}f_{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}
関連項目
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参考文献
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R Aldrovandi, Special Matrices of Mathematical Physics : Stochastic, Circulant and Bell Matrices, World Scientific, 2001. (preview )
R. Aldrovandi, L. P. Freitas, Continuous Iteration of Dynamical Maps , online preprint, 1997.
P. Gralewicz, K. Kowalski, Continuous time evolution from iterated maps and Carleman linearization , online preprint, 2000.
K Kowalski and W-H Steeb, Nonlinear Dynamical Systems and Carleman Linearization , World Scientific, 1991. (preview )
D. Knuth, Convolution Polynomials arXiv online print, 1992
Jabotinsky, Eri: Representation of Functions by Matrices. Application to Faber Polynomials in: Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 4, No. 4 (Aug., 1953), pp. 546- 553 Stable jstor-URL en:Carleman matrix
![{\displaystyle M[f]_{jk}={\frac {1}{k!}}\left[{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(f(x))^{j}\right]_{x=0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d61ad5008a992f7f86e1d214f503968056ef08b)
![{\displaystyle (f(x))^{j}=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{jk}x^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03463b6cd637cee2f67b82f27d2090ea727f8911)
![{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{1,k}x^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7ba62deb0075f027d0ac8532b409ea25615a061)
![{\displaystyle M[f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf9f1b98309f90e9a854df2a6d8ab0fc2829b362)
![{\displaystyle [1,x,x^{2},x^{3},\ldots ]^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b5d18024ca4ecb36c43a31693c2dbe5d28c76d4)
![{\displaystyle f(x)^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{2,k}x^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7087aa822372ac806df2816e6b998e853b4d546a)
![{\displaystyle f(x)^{0}=1=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{0,k}x^{k}=1+\sum _{k=1}^{\infty }0\cdot x^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55191140b02e283e0bc93e79069a4815f7542b51)
![{\displaystyle [1,x,x^{2},\ldots ]^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be8d8240132f0cbce72071a4c3872fdc15aade96)
![{\displaystyle [1,f(x),f(x)^{2},\ldots ]^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8429223802df8b125ff45602c910e004b22670b3)
![{\displaystyle M[f]\cdot [1,x,x^{2},x^{3},\ldots ]^{\top }=[1,f(x),(f(x))^{2},(f(x))^{3},\ldots ]^{\top }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746a139c31892f647ec140576dc165b74bd47b0f)
![{\displaystyle B[f]_{jk}={\frac {1}{j!}}\left[{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}(f(x))^{k}\right]_{x=0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad0856ab439227b2c9ed92254118eeca5828de0)
![{\displaystyle (f(x))^{k}=\sum _{j=0}^{\infty }B[f]_{jk}x^{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e907e607e4357cd4236bd2546df78fcec201b17)
![{\displaystyle M[f]_{x_{0}}=M_{x}[x-x_{0}]M[f]M_{x}[x+x_{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60545c7d7eebc706af5c420424fc18ead0ffe7cc)
![{\displaystyle M[f]_{x_{0}}=M[g]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd08b728d47ee197dd7bbacdc25501ce643d5dd6)
![{\displaystyle (M[f]_{x_{0}})^{n}=M_{x}[x-x_{0}]M[f]^{n}M_{x}[x+x_{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65827d744752dfa269cee519bb7d75f49f94575c)
![{\displaystyle M[f\circ g]=M[f]M[g],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d86557a1b4e3391f42d2acddc4e391d7120c4c5)
![{\displaystyle B[f\circ g]=B[g]B[f].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/823110ce879cbac983719bef87be86ada34fa940)
![{\displaystyle M[f^{n}]=M[f]^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0655a32777f62a69ab2b793db3093e61c207f036)
![{\displaystyle M[f^{-1}]=M[f]^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f0141f030c3a007ea393bf8ff53e941c808686a)
![{\displaystyle M[a]={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots \\a&0&0&\cdots \\a^{2}&0&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c19bd0abb0a39f7de4229419a904c2c325c65cb1)
![{\displaystyle M_{x}[x]={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots \\0&1&0&\cdots \\0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b9079ed15d0fb857ae2dafa5fe9639f32bdbe8e)
![{\displaystyle M_{x}[a+x]={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots \\a&1&0&\cdots \\a^{2}&2a&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fd6aaf77fbaa26397b5774e58bb75102652d5e8)
![{\displaystyle M_{x}[cx]={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots \\0&c&0&\cdots \\0&0&c^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c1fa0d11601e131217ec94ddc7d9ccf4b265948)
![{\displaystyle M_{x}[a+cx]={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots \\a&c&0&\cdots \\a^{2}&2ac&c^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/316ab37e6d99077e7f51c3be2ef101561cd5291a)
![{\displaystyle M[f]={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots \\0&f_{1}&f_{2}&\cdots \\0&0&f_{1}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da1b3a28244f2f183a8e0f52d87f543a07271fe3)
![{\displaystyle M[f]={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots \\f_{0}&f_{1}&f_{2}&\cdots \\f_{0}^{2}&2f_{0}f_{1}&f_{1}^{2}+2f_{0}f_{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f32795538aaa19da6c7b749810a1238ee581233)