コンパクト一様収束

数学においてコンパクト一様収束あるいはコンパクト収束、あるいは広義一様収束 (compact convergence, uniform convergence on compact sets) とは、一様収束の概念を一般化した収束英語版のタイプである。コンパクト開位相と関係する。

定義編集

 位相空間とし、 距離空間とする。関数列

 ,  

  のとき関数  コンパクト収束するとは、すべてのコンパクト集合   に対して    のとき   一様収束することをいう。これはすべてのコンパクトな   に対して

 

が成り立つことを意味する。

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  •   および  (通常の位相)とし、  とすれば、  は定数関数 0 にコンパクト収束するが、一様収束ではない。
  •   とし、  とすれば、   上 で0の値を,  上で 1の値を取る関数に各点収束するが、コンパクト収束しない。
  • コンパクト収束を示す非常に強力な道具はアスコリ・アルツェラの定理である。この定理にはいくつかのバージョンがあるが、おおまかに言えば、同程度連続かつ一様有界な写像の列は連続写像にコンパクト収束する部分列を持つ、というものである。

性質編集

  • 一様に   であれば、コンパクトに   である。
  •  コンパクト空間でコンパクトに   であれば、一様に   である。
  •  局所コンパクトであれば、コンパクトに   であることと局所一様に   であることは同値である。
  •  コンパクト生成空間英語版であり、コンパクトに   であり、各  連続であれば、  は連続である。

関連項目編集

参考文献編集

  • R. Remmert Theory of complex functions (1991 Springer) p. 95