コーシーの冪根判定法

コーシーの冪根判定法(―のべきこんはんていほう、root test) とは、無限級数収束性を判定する方法の一つである。とりわけ、冪級数に関連することに有用である。「コーシーの冪根判定法」という名前は、これを最初に発見したオーギュスタン=ルイ・コーシーに由来する。

("lim sup" は上極限を意味する)とするとき、C < 1 であれば級数は収束し、C > 1 であれば発散する。C = 1 ならば、この判定法ではどちらとも言えない。もし、級数のc を中心とする冪級数

係数であれば、この冪級数の収束半径は 1/C である。これは、0 の逆数として考えた ∞ も含む。

証明編集

証明は、比較判定法を利用したものである。もし、全ての   に対し   ならば、  が成立する。比較判定法より、幾何級数   が収束すれば、  もまた収束する。

もし、  ならば、  と比較して級数は発散する。an が非正である場合の絶対収束性は、  を用いれば同様にして証明できる。

関連記事編集

参考文献編集

  • Knopp, Konrad (1956). “§ 3.2”. Infinite Sequences and Series. Dover publications, Inc., New York. ISBN 0486601536 
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963). “§ 2.35”. A Course in Modern Analysis (fourth edition ed.). Cambridge University Press. ISBN 0521588073 

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