# 三相交流

スター結線から転送）

## 三相交流の種類

### 対称三相交流

{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {E_{a}}}&=E\angle 0=Ee^{j0}=E\\{\dot {E_{b}}}&=E\angle -{\frac {2\pi }{3}}=Ee^{-j2\pi /3}\\{\dot {E_{c}}}&=E\angle -{\frac {4\pi }{3}}=Ee^{-j4\pi /3}\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}e_{a}(t)&=E\sin(\omega t)\\e_{b}(t)&=E\sin(\omega t-{\frac {2}{3}}\pi )\\e_{c}(t)&=E\sin(\omega t-{\frac {4}{3}}\pi )\\\end{aligned}}}

### 対称三相交流の性質

{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {E_{a}}}+{\dot {E_{b}}}+{\dot {E_{c}}}&=0\\e_{a}(t)+e_{b}(t)+e_{c}(t)&=0\\\end{aligned}}}

#### 証明（瞬時値形式）

{\displaystyle {\begin{aligned}e_{a}(t)+e_{b}(t)+e_{c}(t)&=E\left\{\sin \omega t+\sin \left(\omega t-{\frac {2}{3}}\pi \right)+\sin \left(\omega t-{\frac {4}{3}}\pi \right)\right\}\\&=E\left(\sin \omega t-{\frac {1}{2}}\sin \omega t-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cos \omega t-{\frac {1}{2}}\sin \omega t+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cos \omega t\right)\\&=0\end{aligned}}}

#### 証明（ベクトル形式）

オイラーの公式を用いる。

{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {E_{a}}}+{\dot {E_{b}}}+{\dot {E_{c}}}&=Ee^{j0}+Ee^{-j2\pi /3}+Ee^{-j4\pi /3}\\&=Ee^{j\theta }\left(1+e^{-j2\pi /3}+e^{-j4\pi /3}\right)\\&=Ee^{j\theta }\left(1+\cos {\frac {2}{3}}\pi -j\sin {\frac {2}{3}}\pi +\cos {\frac {4}{3}}\pi -j\sin {\frac {4}{3}}\pi \right)\\&=Ee^{j\theta }\left(1-{\frac {1}{2}}-j{\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\\&=0\\\end{aligned}}}

### 平衡三相交流

{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {I_{a}}}&=I\angle -\theta =Ie^{-j\theta }\\{\dot {I_{b}}}&=I\angle -\left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)=Ie^{-j(\theta +2\pi /3)}\\{\dot {I_{c}}}&=I\angle -\left(\theta +{\frac {4\pi }{3}}\right)=Ie^{-j(\theta +4\pi /3)}\\\end{aligned}}}

となる。（${\displaystyle \theta }$ は電圧と電流の位相差）各負荷に流れる電流の大きさが等しく、電流の位相が120°ずつ異なる回路を三相平衡交流という。[4]

{\displaystyle {\begin{aligned}i_{a}(t)&=I\sin(\omega t-\theta )\\i_{b}(t)&=I\sin(\omega t-\theta -{\frac {2}{3}}\pi )\\i_{c}(t)&=I\sin(\omega t-\theta -{\frac {4}{3}}\pi )\\\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {I_{a}}}+{\dot {I_{b}}}+{\dot {I_{c}}}&=0\\i_{a}(t)+i_{b}(t)+i_{c}(t)&=0\\\end{aligned}}}

## 電源と負荷の接続方式

これらの接続方式を順に、Y-Δ接続・Y-Y接続・Δ-Y接続・Δ-Δ接続と呼ぶ。[10]

## 三相平衡回路の性質

### 中性線の省略

このとき中性線に流れる電流は0になり、中性点間の導線を取り除くことができる。[11]

#### 導出

すると次のような回路となるから、負荷インピーダンスを${\displaystyle {\dot {Z}}}$ とすると

{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {I_{o}}}^{\prime }&={\frac {\dot {E_{a}}}{\dot {Z}}}\\{\dot {I_{o}}}^{\prime \prime }&={\frac {\dot {E_{b}}}{\dot {Z}}}\\{\dot {I_{o}}}^{\prime \prime \prime }&={\frac {\dot {E_{c}}}{\dot {Z}}}\\\end{aligned}}}

と求めることができる。重ねの理より${\displaystyle {\dot {I_{o}}}}$

{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {I_{o}}}&={\dot {I_{o}}}^{\prime }+{\dot {I_{o}}}^{\prime \prime }+{\dot {I_{o}}}^{\prime \prime \prime }\\&={\frac {1}{\dot {Z}}}({\dot {E_{a}}}+{\dot {E_{b}}}+{\dot {E_{c}}})\\\end{aligned}}}

となる。ここで対称三相交流の性質で解説したように${\displaystyle {\dot {E_{a}}}+{\dot {E_{b}}}+{\dot {E_{c}}}=0}$ であるから

${\displaystyle {\dot {I_{o}}}=0}$

が成り立ち、中性点間の導線を取り除いても構わないことが分かる。[7]

### 伝送電力の瞬時値が一定

${\displaystyle p(t)={\frac {3}{2}}VI\cos {\theta }}$

となる。[12] ただし${\displaystyle V}$ は各起電力の最大電圧値、${\displaystyle I}$ は各起電力に流れる最大電流値、${\displaystyle \cos {\theta }}$ は力率である。

#### 導出

{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}v_{a}(t)&=V\sin(\omega t)\\v_{b}(t)&=V\sin(\omega t-{\frac {2}{3}}\pi )\\v_{c}(t)&=V\sin(\omega t-{\frac {4}{3}}\pi )\\\end{aligned}}\right.}
{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}i_{a}(t)&=I\sin(\omega t+\theta )\\i_{b}(t)&=I\sin(\omega t+\theta -{\frac {2}{3}}\pi )\\i_{c}(t)&=I\sin(\omega t+\theta -{\frac {4}{3}}\pi )\\\end{aligned}}\right.}

これらの式を${\displaystyle p(t)}$ の定義式

${\displaystyle p(t)=v_{a}(t)i_{a}(t)+v_{b}(t)i_{b}(t)+v_{c}(t)i_{c}(t)}$

に代入して計算を進める。[12] 途中の式変形で三角関数の積和公式を用いている。

{\displaystyle {\begin{aligned}p(t)&=v_{a}(t)i_{a}(t)+v_{b}(t)i_{b}(t)+v_{c}(t)i_{c}(t)\\&=VI\left\{\sin(\omega t)\sin(\omega t+\theta )+\sin(\omega t-{\frac {2\pi }{3}})\sin(\omega t+\theta -{\frac {2\pi }{3}})+\sin(\omega t-{\frac {4\pi }{3}})\sin(\omega t+\theta -{\frac {4\pi }{3}})\right\}\\&={\frac {1}{2}}V\left\{\cos(-\theta )-\cos(2\omega t+\theta )+\cos(-\theta )-\cos(2\omega t+\theta -{\frac {4\pi }{3}})+cos(-\theta )-\cos(2\omega t+\theta -{\frac {8\pi }{3}})\right\}\\&={\frac {3}{2}}VI\cos \theta +{\frac {1}{2}}V\left\{I\sin(\omega ^{\prime }t+\theta ^{\prime })+I\sin(\omega ^{\prime }t+\theta ^{\prime }-{\frac {2}{3}}\pi )+I\sin(\omega ^{\prime }t+\theta ^{\prime }-{\frac {4}{3}}\pi )\right\}\end{aligned}}}

${\displaystyle \omega ^{\prime }=2\omega ,\theta ^{\prime }=\theta -\pi /2}$ とおいた。右式第二項は0になる。よって${\displaystyle p(t)}$

${\displaystyle p(t)={\frac {3}{2}}VI\cos {\theta }}$

となる。

## 結線方法

### Y結線

Y結線（ワイけっせん, ほしがたけっせん, スターけっせん）は、三相各相をその一端の中性点で接続する結線[14]星形結線（ほしがたけっせん）、スター結線とも表記する[15]

Y結線における、線間電圧と相電圧の関係は次の通り。

• 線間電圧の大きさは、相電圧の大きさ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ 倍に等しい
• 線間電圧の位相は、線間電圧の正極性につながっている相電圧よりも30°進んでいる
• 線間電流は線電流に等しい

{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {E}}_{ab}&={\sqrt {3}}{\dot {E_{a}}}\angle {\frac {\pi }{6}}\\{\dot {E}}_{bc}&={\sqrt {3}}{\dot {E_{b}}}\angle {\frac {\pi }{6}}\\{\dot {E}}_{ca}&={\sqrt {3}}{\dot {E_{c}}}\angle {\frac {\pi }{6}}\\{\dot {I}}_{aa}&={\dot {I}}_{a}\\{\dot {I}}_{bb}&={\dot {I}}_{b}\\{\dot {I}}_{cc}&={\dot {I}}_{c}\\\end{aligned}}}

となる。[16]

### Δ結線

Δ結線（デルタけっせん, さんかくけっせん）は、三相各相を相電圧が加わる向きに接続し閉回路とする結線。三角結線（さんかくけっせん）、デルタ結線とも表記する[15]

Δ結線における、線電流と相電流の関係は次の通り。

• 線電流の大きさは、相電流の大きさ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ 倍に等しい
• 線電流の位相は、対応する相電流[注釈 1] に対して30°遅れている
• 線間電圧は相電圧に等しい

{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {I_{a}}}&={\sqrt {3}}{\dot {I}}_{ab}\angle -{\frac {\pi }{6}}\\{\dot {I_{b}}}&={\sqrt {3}}{\dot {I}}_{bc}\angle -{\frac {\pi }{6}}\\{\dot {I_{c}}}&={\sqrt {3}}{\dot {I}}_{ca}\angle -{\frac {\pi }{6}}\\{\dot {E}}_{ab}&={\dot {E}}_{a}\\{\dot {E}}_{bc}&={\dot {E}}_{b}\\{\dot {E}}_{ca}&={\dot {E}}_{c}\\\end{aligned}}}

となる。[17]

Y結線とΔ結線の相電圧と相電流の差を利用し、かご形三相誘導電動機をY結線で始動し、途中でΔ結線に切り替えることによって始動電流を3分の1に抑えるスターデルタ始動法（Y-Δ始動法）が存在する。[18]

### V結線

V結線（ブイけっせん）は、Δ結線より三相のうち一相を除いた結線である。

### Δ結線との関係

#### 導出

V結線の回路図より

${\displaystyle {\dot {V_{c}}}=-({\dot {E_{a}}}+{\dot {E_{b}}})}$

である。またΔ結線の回路図より

{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {E_{a}}}+{\dot {E_{b}}}+{\dot {E_{c}}}&=0\\{\dot {E_{c}}}&=-({\dot {E_{a}}}+{\dot {E_{b}}})\\\end{aligned}}}

となる。${\displaystyle {\dot {V_{c}}},{\dot {E_{c}}}}$ 両式を比較すると${\displaystyle {\dot {V_{c}}}={\dot {E_{c}}}}$ が成り立つ。[19]

### 線間電圧と相電圧、線電流と相電流

V結線における線電流と相電流、線間電圧と相電圧の関係は次の通り。

• 線間電流の大きさは線電流の大きさに等しい（位相は異なる場合がある）
• 線間電圧の位相と大きさは、相電圧の位相と大きさに等しい

{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {I}}_{ab}&={\dot {I}}_{a}\\{\dot {I}}_{bc}&=-{\dot {I}}_{c}\\{\dot {I}}_{bc}-{\dot {I}}_{ab}&={\dot {I}}_{b}\\{\dot {E}}_{ab}&={\dot {E}}_{a}\\{\dot {E}}_{bc}&={\dot {E}}_{b}\\{\dot {E}}_{ca}&={\dot {V}}_{c}=-({\dot {E_{a}}}+{\dot {E_{b}}})\\\end{aligned}}}

## 三相交流電力

### 有効電力

Y結線・Δ結線における有効電力${\displaystyle P}$  は、線間電圧を${\displaystyle V_{l}}$  、線電流を${\displaystyle I_{l}}$ 、力率を${\displaystyle \cos \theta }$  とすると、

${\displaystyle P={\sqrt {3}}\ V_{l}I_{l}\cos \theta }$

で表される。[22] V結線の有効電力${\displaystyle P_{v}}$

${\displaystyle P_{v}=\ V_{l}I_{l}\cos \theta }$

となる。[8]

### 皮相電力・複素電力・無効電力

Y結線・Δ結線における皮相電力${\displaystyle S}$ 複素電力${\displaystyle {\dot {S}}}$ 無効電力${\displaystyle Q}$

{\displaystyle {\begin{aligned}S&={\sqrt {3}}\ V_{l}I_{l}\\{\dot {S}}&={\sqrt {3}}\ V_{l}I_{l}e^{j\theta }\\Q&={\sqrt {3}}\ V_{l}I_{l}\sin \theta \\\end{aligned}}}

である。[23]

## 三相交流送電のメリット

1. 電線一本あたりの送電電力が大きい。
2. 同じ送電電力ならば、電線の質量を低減できる[24]
3. 三相交流から単相交流を取り出すことができる。
4. 三相交流からは回転磁界を容易に得られる。(かご形三相誘導電動機

3,4が正しいことは明らかである。しかし1,2が本当に正しいかどうかは、すぐにはわからない。ここでは1,2となる理由について解説する。

### 電線の質量の比較

1. 単相交流と三相交流の電流比を求める
2. 抵抗比を求める
3. 電線の断面積比を求める
4. 電線質量比を求める

#### 電流比

{\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&={\frac {P}{E\cos \theta }}\\I_{3}&={\frac {P}{{\sqrt {3}}E\cos \theta }}\\\end{aligned}}}

となるため、電流比は

${\displaystyle {\frac {I_{3}}{I_{1}}}={\frac {\frac {P}{{\sqrt {3}}E\cos \theta }}{\frac {P}{E\cos \theta }}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$

となる。[26]

#### 抵抗比

${\displaystyle P_{l}=2R_{1}{I_{1}}^{2}=3R_{3}{I_{3}}^{2}}$

となるから、抵抗比は

${\displaystyle {\frac {R_{3}}{R_{1}}}={\frac {2{I_{1}}^{2}}{2{I_{3}}^{2}}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{1}}=2}$

となる。[26]

#### 断面積比

{\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&={\frac {\rho l}{A_{1}}}\times 10^{5}\\R_{3}&={\frac {\rho l}{A_{3}}}\times 10^{5}\\\end{aligned}}}

となり

{\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&={\frac {\rho l}{R_{1}}}\times 10^{5}\\A_{3}&={\frac {\rho l}{R_{3}}}\times 10^{5}\\\end{aligned}}}

となるから、断面積比は

${\displaystyle {\frac {A_{3}}{A_{1}}}={\frac {{\frac {\rho l}{R_{3}}}\times 10^{5}}{{\frac {\rho l}{R_{1}}}\times 10^{5}}}={\frac {R_{1}}{R_{3}}}={\frac {1}{2}}}$

となる。[3]

#### 電線質量比

{\displaystyle {\begin{aligned}W_{1}&=2\sigma A_{1}l\times 10^{5}\\W_{3}&=3\sigma A_{3}l\times 10^{5}\\\end{aligned}}}

となるから、重量比は

${\displaystyle {\frac {W_{3}}{W_{1}}}={\frac {3\sigma A_{3}l\times 10^{5}}{2\sigma A_{1}l\times 10^{5}}}={\frac {3A_{3}}{2A_{1}}}={\frac {3}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {3}{4}}}$

と求まる。[3] 同一条件の場合、三相三線式で送電したほうが単相二線式で送電するよりも、75%の電線重量で済むことが示された。[3]

## 相の呼び方

• 三相4線式の場合、第四相は中性相、中相ともいう。

## 動力と電灯の使用例

### 動力（三相電源）への単相負荷接続

JIS C4526-1 3.4.9全極遮断[34]には、機器用スイッチは「単相交流機器及び直流機器にあっては，一つのスイッチ作用で実質的に同時に両方の電源電線を遮断すること，又は3以上の電源電線に接続された機器にあっては，接地された導体を除き1回のスイッチ作用で実質的に同時に全ての電源電線を遮断すること」と規定されている。従って、片切スイッチ及びスイッチング回路を使用した単相機器を、三相電源のR-Tに接続して使用することは技術基準に違反する。また電力会社との約款に違反するケースもある。

## 注釈

1. ^ 対応する相電流とは、Δ結線のある一点から線電流が流れ出ているとき、その点に流れ込む相電流のことである。
2. ^ 単相二線式の、1線当たりの送電電力を100%としている。
3. ^ 三相三線式の結線方法はY結線かΔ結線として計算している
4. ^ 送電電力比率は力率を1として計算している

## 出典

 [脚注の使い方]
1. ^ 5-2. 三相交流とは（電気の種類）”. 東京電力グループ. 2021年7月4日閲覧。動画の1分01秒から1分08秒に、三相交流の説明がある。
2. ^ a b c 三相交流ができるまで”. 山本 充義　山口 貢. 2021年7月17日閲覧。
3. ^ a b c d 『近代電気工学大講座12 近代送電工学1』p.28
4. ^ a b c 『例題で学ぶやさしい電気回路[交流編]』 p.160
5. ^ 『工専学生のための電気基礎』p.111
6. ^ a b 『工専学生のための電気基礎』p.112
7. ^ a b c 『例題で学ぶやさしい電気回路[交流編]』 p.162
8. ^ a b 『工専学生のための電気基礎』p.119
9. ^ a b 対称座標法とはどんな計算か”. 間邊 幸三郎. 2021年7月17日閲覧。
10. ^ a b c 『例題で学ぶやさしい電気回路[交流編]』 p.161
11. ^ a b 堀　浩雄『例題で学ぶやさしい電気回路[交流編]』 p.163
12. ^ a b 電力回路第8回目 多相交流回路の基礎”. 2021年7月17日閲覧。
13. ^ 『工専学生のための電気基礎』pp.114-119
14. ^ TAKE「三相交流回路の基礎」『電気主任技術者試験に挑戦』 2009年
15. ^ a b 佐藤智典「Y 結線 / Δ 結線」『電気製品の EMC／安全適合性 ―― 用語解説』 2008年4月27日
16. ^ 『例題で学ぶやさしい電気回路[交流編]』 p.164
17. ^ 『例題で学ぶやさしい電気回路[交流編]』 p.166
18. ^ 『工専学生のための電気基礎』p.127
19. ^ a b 通信講習用船舶電気装備技術講座（電気理論編・初級）”. 日本船舶電装協会. 2021年7月17日閲覧。
20. ^ 通信講習用船舶電気装備技術講座（電気理論編・初級）”. 日本船舶電装協会. 2021年7月28日閲覧。
21. ^ 『工専学生のための電気基礎』pp.117-118
22. ^ 『例題で学ぶやさしい電気回路[交流編]』 p.171
23. ^ 『例題で学ぶやさしい電気回路[交流編]』 p.172
24. ^ 三相交流とは」『百科事典マイペディアコトバンク、2010年5月
25. ^ 『近代電気工学大講座12 近代送電工学1』p.26
26. ^ a b 『近代電気工学大講座12 近代送電工学1』p.27
27. ^ 『新明解国語辞典　第七版』p.1049
28. ^ 『新明解国語辞典　第七版』p.1071
29. ^ 電気の流れ（配電線）”. JEIC（電磁界情報センター）. 2021年7月17日閲覧。
30. ^ 用語解説”. 中部電力. 2021年7月17日閲覧。
31. ^ 電圧の種類・単相電源と動力電源とは”. 2021年7月17日閲覧。
32. ^ 従量電灯”. 北海道電力. 2021年7月17日閲覧。
33. ^ 動力プラン”. 東京電力. 2021年7月17日閲覧。
34. ^ https://kikakurui.com/c4/C4526-1-2013-01.html