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n 番目のタクシー数(タクシーすう、taxicab number、Ta(n)もしくはTaxicab(n)と表記される)とは、2つの立方数の和として n 通りに表される最小の正の整数と定義される。1954年ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディとエドワード・メートランド・ライトが全ての正の整数 n に対し、Ta(n)が存在することを示した。その証明を利用すれば「2つの立方数の和として n 通りに表される正の整数」を見つけることはできる。ただしそれが最小の数であるかは保証されていないため、Ta(n)であるとは限らない。

「タクシー数」と言う名前はハーディが乗ったタクシーの番号1729についてそれがTa(2)であることをシュリニヴァーサ・ラマヌジャンが指摘したエピソードから来ている(後述)。

なお、ここでの立方数は正の整数のみを考える。0と負の整数も含めるときは、名前の「taxicab」をひっくり返してキャブタクシー数と呼ばれる。

目次

概要編集

与えられた正の整数 N に対し、不定方程式

 

の整数解 yx > 0 の個数は明らかに有限個である(0 < y3 < N であるため)。これを s(N) とおく。Ta(n) は s(N) ≥ n となる最小の N である。

任意の n に対して s(N) ≥ n となる整数 N が存在することが知られており、したがって Ta(n) は存在する。実際 m を正の整数とすると

 

楕円曲線なので、階数が正ならば無限個の有理点を持つ。さらに、このとき有理点の全体は実数点の中で稠密となる。よって、その中には無限個の正の有理点が存在する。それらから任意の個数の有理点   を選んで分母を払うことにより

 

が成り立つ。   ととれば   が成り立つ。m = 7, 9 などに対して上記の曲線の階数は正なので、ここから s(N) がいくらでも大きなものを得ることができる。よって任意の正の整数に対して Ta(n) は確かに存在する。

一般に F が3次形式で

 

が階数 r の楕円曲線を与えているとき、

 

の解の個数が > c(log m)r/(r+2) となる m が無数に存在する(c> 0 は Fm0 のみに依存し d には依存しない)。

 

は階数3を持つことが知られている(実際 (17/2, -7/2), (163/19, 56/19), (3439/223, -3220/223) が生成元となる)。よって

 

となる N が無数に存在する[1]。したがって

 

が無数の n に対して成り立つ。

既知のタクシー数編集

現在までに以下の6つのタクシー数が知られている(オンライン整数列大辞典の数列 A011541参照)。

 
 
 
 
 
 

タクシー数の上限編集

以下の数字は7通り~12通りの2つの立方数の和で表せる数である。これらがタクシー数そのものである可能性はあるが、証明はされていない。つまり、Ta(7)からTa(12)の上限となる。

 
 
 
 
 
 

発見の歴史編集

ハーディ・ラマヌジャン数として知られるTa(2)は1657年バーナード・フラン・ベッシー英語版によって他のいくつかの2つの立方数の和で2通りに表せる数とともに見出された[2]レオンハルト・オイラー

 

の有理数解の一般解を与えており、その後アドルフ・フルヴィッツはそれを単純化した[3]

 

ただしこの公式から、すべての整数解を与える公式が導かれるわけではない。t, a, b が整数ならばこの公式は整数解を与えるが、それがすべての整数解を与えるわけではないからである。たとえば Ta(2) は (a, b, t) = (10/19, −7/19, −361/42) に対応しており t, a, b が整数であるものからは与えられない(もちろん t, a, b をうまく与えることでどの整数解も得られるが、整数解に対応する t, a, b がどのようなものかは明らかではない)。またオイラーは

 

を発見している(t = 1 とおくとタクシー数を得る)。

Ta(2) は後に数学者ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディシュリニヴァーサ・ラマヌジャンのエピソードによって不滅のものとなった。ハーディによれば[4]

私は彼をパットニーの療養所に見舞ったことを覚えている。私はナンバーが1729のタクシーに乗り、その数は無味乾燥なもののように思え、それが不吉なことの前兆でないことを願っていた。しかし彼は「そんなことはありません、とても興味深い数字です。それは2通りの2つの立方数の和で表せる最小の数です」と返した。

ラマヌジャンは1913年に無限個の整数解を与える公式

 

を発見し、その後オイラーの一般有理解と等価な一般有理解の公式を得ている。またラマヌジャンの遺稿には

 

の無限個の整数解を得る(オイラーとは別の)方法が述べられている[5]

次のタクシー数は計算機を使って発見された。ジョン・リーチ英語版1957年にTa(3)を発見した。1991年にはE・ローゼンスティール、J・A・ダーディス、C・R・ローゼンスティールがTa(4)を発見。J・A・ダーディスは1994年にTa(5)を発見し、1999年にデービッド・W・ウィルソンによって確認された[6][7]。Ta(6)はウーヴェ・ホラーバッハによって2008年3月9日にメーリングリストNMBRTHRYに発見が報告されたが[8]、これは2003年に Claude et al. によって99%の確率でTa(6)であろうとされていたものだった[9]2006年にはクリスチャン・ボワイエによってTa(7)からTa(12)までの上限が与えられた[10]2008年にはクリスチャン・ボワイエとJaroslaw WroblewskiによってTa(11)からTa(22)までの上限が更新された[11]

より制限をかけた形でのタクシー問題は、タクシー数がcubefreeである、つまり13以外の立方数で割り切れない場合である。 cubefreeなタクシー数 TT = x3+y3と書かれるとき、全ての組 (x, y) に対して x, y は互いに素である。先述したタクシー数の中では、Ta(1)とTa(2)だけがcubefreeなタクシー数である。3通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、1981年に大学院生だったポール・ボイタによって発見された(未発表)。これは以下の通りである。

15170835645
= 5173 + 24683
= 7093 + 24563
= 17333 + 21523.

4通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、2003年にダンカン・ムーアとスチュアート・ギャスコインによって独立に発見された。以下の通り。

1801049058342701083
= 922273 + 12165003
= 1366353 + 12161023
= 3419953 + 12076023
= 6002593 + 11658843.

オンライン整数列大辞典の数列 A080642参照)

上記の通り制限のない場合には s(N) はいくらでも大きくできるが、N が立方因子をもたないとき、

 

の解の個数をどこまで大きくできるかは未だわかっていない。この方程式のあらわす楕円曲線の階数を r(N) とすると

 

となる絶対定数 c が存在する。 N が大きいときは

 

が成り立つ[12]

脚注編集

  1. ^ Silverman (1983)
  2. ^ Dickson (1919)
  3. ^ Hardy & Wright (2008, Theorem 235)
  4. ^ Quotations by Hardy - ウェイバックマシン(2017年8月29日アーカイブ分)
  5. ^ Ken Ono and Sarah Trebat-Leder (2016, 2017)
  6. ^ Numbers Count column of Personal Computer World, page 610, Feb 1995
  7. ^ "The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496" by David W. Wilson
  8. ^ NMBRTHRY Archives - March 2008 (#10) "The sixth taxicab number is 24153319581254312065344" by Uwe Hollerbach
  9. ^ C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196-1203
  10. ^ Tables of best known results (in May 2007) on Taxicab and Cabtaxi numbers
  11. ^ New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi numbers
  12. ^ Silverman (1982)

参考文献編集

  • Hardy, G.H.; Wright, E.M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers. Revised by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. Zbl 1159.11001. 
  • Dickson, Lernard Eugene (1919). History of the theory of numbers, vol. II, Diophantine Analysis. Carnegie Institute of Washington. https://archive.org/details/historyoftheoryo02dickuoft. 
  • J. Leech, Some Solutions of Diophantine Equations, Proc. Cambridge Phil. Soc. 53, 778-780, 1957.
  • Ono, Ken; Trebat-Leder, Sarah (2016). “The 1729 K3 surface”. Res. Number Theory 2: No. 26. doi:10.1007/s40993-016-0058-2. 
  • Ono, Ken; Trebat-Leder, Sarah (2017). “Erratum to: The 1729 K3 surface”. Res. Number Theory 3: No. 12. doi:10.1007/s40993-017-0076-8. 
  • E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel, The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x3 + y3 = z3 + w3 = u3 + v3 = m3 + n3, Bull. Inst. Math. Appl., 27(1991) 155-157; MR 92i:11134, online. 「Personal Computer World」1989年11月号も参照せよ。
  • David W. Wilson, The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496, Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), online. (ウィルソンはこれを著した際、1994年にJ・A・ダーディスがTa(5)を発見していたことを認識していなかった)
  • D. J. Bernstein, Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d), Mathematics of Computation 70, 233 (2000), 389–394.
  • C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196–1203
  • Silverman, Joseph H. (1983). “Integer points on curves of genus 1”. J. London Math. Soc. (2) 28: 1-7. doi:10.1112/jlms/s2-28.1.1. MR0703458. 
  • Silverman, Joseph H. (1982). “Integer points and the rank of Thue elliptic curves”. Invent. Math. 66: 395-404. doi:10.1007/BF01389220. MR0662599. 

関連項目編集

外部リンク編集