チャーン・ヴェイユ準同型 （英 : Chern–Weil homomorphism チャーン・ヴェイユ理論 の基本構成であり、微分可能多様体 M に対して M のド・ラームコホモロジー と M の曲率 を関連付けている。つまり、（微分）幾何学とトポロジーの関連づけを意味する。1940年代以来の陳省身 とアンドレ・ヴェイユ の理論は、特性類 の理論での重要なステップである。この理論はガウス-ボネの定理 の一般化でもある。
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
実数 もしくは 複素数 を表すことにする。G は実もしくは複素リー群 でリー代数
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
K
(
g
∗
)
{\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})}
で、
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
多項式 のベクトル空間の代数を表すとする。
K
(
g
∗
)
A
d
(
G
)
{\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}}
G の随伴作用の下で次の条件を満たす
K
(
g
∗
)
{\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})}
f
∈
K
(
g
∗
)
A
d
(
G
)
.
{\displaystyle f\in \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}.\,}
f
(
t
1
,
…
,
t
k
)
=
f
(
A
d
g
t
1
,
…
,
A
d
g
t
k
)
{\displaystyle f(t_{1},\dots ,t_{k})=f(Ad_{g}t_{1},\dots ,Ad_{g}t_{k})\,}
チャーン・ヴェイユ準同型は、
K
(
g
∗
)
A
d
(
G
)
{\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}}
H
∗
(
M
,
K
)
{\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {K} )}
M 上のG -主バンドルP に対して一意的に決まる。もし G がコンパクトであれば、この準同型の下に G -バンドルの分類空間 B G
K
(
g
∗
)
A
d
(
G
)
{\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}}
H
∗
(
B
G
,
K
)
≅
K
(
g
∗
)
A
d
(
G
)
.
{\displaystyle H^{*}(B^{G},\mathbb {K} )\cong \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}.}
SL(n ,R ) のような非コンパクト群に対しては、不変多項式によって表現できないようなコホモロジー類が存在する可能性がある。
準同型の定義
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P の中の任意の接続形式 ω を選び、
Ω
{\displaystyle \Omega }
曲率 2-形式とする。
f
∈
K
(
g
∗
)
A
d
(
G
)
{\displaystyle f\in \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}}
k の同次多項式として、
f
(
Ω
)
{\displaystyle f(\Omega )}
f
(
Ω
)
(
X
1
,
…
,
X
2
k
)
=
1
(
2
k
)
!
∑
σ
∈
S
2
k
ϵ
σ
f
(
Ω
(
X
σ
(
1
)
,
X
σ
(
2
)
)
,
…
,
Ω
(
X
σ
(
2
k
−
1
)
,
X
σ
(
2
k
)
)
)
{\displaystyle f(\Omega )(X_{1},\dots ,X_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\epsilon _{\sigma }f(\Omega (X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (X_{\sigma (2k-1)},X_{\sigma (2k)}))}
で与えられる P 上の 2k -形式とする。ここに
ϵ
σ
{\displaystyle \epsilon _{\sigma }}
k 個の対称群
S
2
k
{\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2k}}
σ
{\displaystyle \sigma }
すると次のことが示される。
f
(
Ω
)
{\displaystyle f(\Omega )}
は閉形式 であり、
d
f
(
Ω
)
=
0
,
{\displaystyle df(\Omega )=0,\,}
で、ド・ラームコホモロジー 類
f
(
Ω
)
{\displaystyle f(\Omega )\,}
は P の接続の選択に依存しないので、主バンドルにのみ依存する。
このようにして f から得られるコホモロジー類
ϕ
(
f
)
{\displaystyle \phi (f)\,}
について、代数（環）準同型
ϕ
:
K
(
g
∗
)
A
d
(
G
)
→
H
∗
(
M
,
K
)
.
{\displaystyle \phi :\mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}\rightarrow H^{*}(M,\mathbb {K} ).\,}
を得る。
参考文献
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Bott, R. (1973), “On the Chern-Weil homomorphism and the continuous cohomology of Lie groups”, Advances in Math 11 : 289?303, doi :10.1016/0001-8708(73)90012-1 Chern, S.-S. (1951), Topics in Differential Geometry , Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0 , ISBN 3-540-90422-0 .
The appendix of this book: "Geometry of Characteristic Classes" is a very neat and profound introduction to the development of the ideas of characteristic classes.
Chern, S.-S. ; Simons, J (1974), “Characteristic forms and geometric invariants” , The Annals of Mathematics, Second Series 99 (1): 48-69, JSTOR 1971013 , https://jstor.org/stable/1971013 Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), Foundations of Differential Geometry , Vol. 2 Narasimhan, M.; Ramanan, S. (1961), “Existence of universal connections” , Amer. J. Math. 83 : 563-572, doi :10.2307/2372896 , JSTOR 2372896 , https://jstor.org/stable/2372896 特性類と幾何学 森田茂之著 岩波書店 
