テレゲンの定理

テレゲンの定理（英: Tellegen's theorem） は、電気回路において各枝を流れる電流と、枝間の電位差の積の和が0となることを意味する定理である。

以下では $N$ 本の枝を持つ回路で$i$ 番目の枝を流れる電流を $I_{i}(t)$、枝間の電位差を $V_{i}(t)$ とし、電流の流れる方向に電圧降下が起こると決める。

$\sum _{i=1}^{N}V_{i}(t)\cdot I_{i}(t)=0$

テレゲンの定理の重要性

非時間依存

テレゲンの定理は$t_{1}\neq t_{2}$であったとしても、以下の形で成立する。

$\sum _{i=1}^{N}V_{i}(t_{1})\cdot I_{i}(t_{2})=0$

これの意味するところは、電位差の列${V_{1},V_{2},\dotsc ,V_{N}}$と電流の列${I_{1},I_{2},\dotsc ,I_{N}}$のサンプリングをそれぞれの列内で同時刻に行っていれば、電位差と電流のサンプリング時刻はテレゲンの定理の保存する情報に影響しないということである。

非素子依存

これまで仮定していた回路と同じ位相構造を持つ回路を想定する。その回路の枝の最初の回路の枝$i$に対応する枝を${\bar {i}}$とおくとテレゲンの定理は以下の形で成立する。

${\begin{aligned}\sum _{i=1,{\bar {i}}=1}^{N}V_{\bar {i}}(t)\cdot I_{i}(t)=0\\\sum _{i=1,{\bar {i}}=1}^{N}V_{i}(t)\cdot I_{\bar {i}}(t)=0\end{aligned}}$

これの意味するところは、異なる素子からなる二つの回路から、それぞれ電位差と電流をサンプリングしてきたとしてもテレゲンの定理の保存する情報に影響しないということである。平たく言えば、テレゲンの定理の保存する情報とは回路の位相構造ということである。