ハッセ＝ダベンポートの関係式

数学において、 Davenport and Hasse (1935) によって導入されたハッセ＝ダベンポートの関係式（ハッセ＝ダベンポートのかんけいしき、英: Hasse–Davenport relations）とは、ガウス和に関する二つの関係式で、一つはハッセ＝ダベンポートの持ち上げ関係式（Hasse-Davenport lifting relation）と呼ばれ、もう一つはハッセ＝ダベンポートの積の関係式（Hasse-Davenport product relation）と呼ばれる。ハッセ＝ダベンポートの持ち上げ関係式は、数論における異なる体上のガウス和に関連するある等式である。ヴェイユ予想に動機付けられ、Weil (1949) はこの式をある有限体上のフェルマー超曲面のゼータ関数を計算するために用いた。

ガウス和は有限体上のガンマ関数の類似物であり、ハッセ＝ダベンポートの積の関係式は次のガウスの積公式の類似物である：

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{k}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{k}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{\frac {k-1}{2}}\;k^{1/2-kz}\;\Gamma (kz).\,\!$

実際、ハッセ＝ダベンポートの積の関係式は、p-進ガンマ関数と Gross & Koblitz (1979) のグロス＝コブリッツの公式に対する類似の乗法的公式から得られる。

ハッセ＝ダベンポートの持ち上げ関係式

F を q 個の元を持つある有限体とし、F_s を [F_s:F] = s であるような体とする。すなわち F 上のベクトル空間 F_s の次元は s である。

$\alpha$ を $F_{s}$ のある元とする。

$\chi$ を F から複素数への乗法的指標 (数学)とする。

$N_{F_{s}/F}(\alpha )$ を、$F_{s}$ から $F$ へのノルムで、次で定められるものとする。

$N_{F_{s}/F}(\alpha ):=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdots \alpha ^{q^{s-1}}.\,$

今 $\chi '$ を $F_{s}$ 上の乗法的指標で、$\chi$ と、F_s から F へのノルムの合成で与えられるものとする。すなわち

$\chi '(\alpha ):=\chi (N_{F_{s}/F}(\alpha ))$

とする。

ψ をある非自明な F の加法的指標とし、$\psi '$ を $\psi$ と、F_s から F への跡の合成であるような $F_{s}$ 上の加法的指標とする。すなわち

$\psi '(\alpha ):=\psi (Tr_{F_{s}/F}(\alpha ))$

とする。

今

$\tau (\chi ,\psi )=\sum _{x\in F}\chi (x)\psi (x)$

を F 上のガウス和とし、$\tau (\chi ',\psi ')$ を $F_{s}$ 上のガウス和とする。

このとき、ハッセ＝ダベンポートの持ち上げ関係式は次で与えられる。

$(-1)^{s}\cdot \tau (\chi ,\psi )^{s}=-\tau (\chi ',\psi ').$

ハッセ＝ダベンポートの積の関係式

ハッセ＝ダベンポートの積の関係式は次で与えられる。

$\prod _{a{\bmod {m}}}\tau (\chi \rho ^{a},\psi )=-\chi ^{-m}(m)\tau (\chi ^{m},\psi )\prod _{a{\bmod {m}}}\tau (\rho ^{a},\psi ).$

ただし ρ は q–1 を割る exact 位数が m の乗法的指標であり、χ を任意の乗法的指標、ψ はある非自明な加法的指標である。

参考文献

• Davenport, Harold; Hasse, Helmut (1935), “Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktionen in gewissen zyklischen Fällen. (On the zeros of the congruence zeta-functions in some cyclic cases)” (German), Journal für Reine und Angewandte Mathematik 172: 151–182, ISSN 0075-4102, Zbl 0010.33803, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002173123 
• Gross, Benedict H.; Koblitz, Neal (1979), “Gauss sums and the p-adic Γ-function”, Annals of Mathematics. Second Series 109 (3): 569–581, doi:10.2307/1971226, ISSN 0003-486X, MR534763, https://doi.org/10.2307/1971226 
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer. pp. 158–162. ISBN 0-387-97329-X 
• Weil, André (1949), “Numbers of solutions of equations in finite fields”, Bulletin of the American Mathematical Society 55 (5): 497–508, doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4, ISSN 0002-9904, MR0029393, http://www.ams.org/bull/1949-55-05/S0002-9904-1949-09219-4/home.html  Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil ISBN 0-387-90330-5