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フィックの法則(フィックのほうそく、: Fick's laws of diffusion)とは、物質の拡散に関する基本法則である。気体液体固体金属)どの拡散にも適用できる。フィックの法則には、第1法則と第2法則がある。

この法則は、1855年アドルフ・オイゲン・フィックによって発表された。フィックは拡散現象を、熱伝導に関するフーリエ (1822) の理論と同じように考えることができるとしてこの法則を与えた[1]

目次

フィックの第1法則編集

第1法則は、定常状態拡散、すなわち、拡散による濃度時間に関して変わらない時に使われる、「拡散流束は濃度勾配に比例する」という法則である。工業的に定常状態拡散は水素ガスの純化に見られる。数式で表すと、

 

あるいは1次元なら、

 

となる。ここで、記号の意味は以下である:

  • J拡散束または流束 (flux)といい、単位時間当たりに単位面積を通過する、ある性質の量と定義される。質量が通過する場合には次元は[ML-2T-1]で与えられる。
  • D拡散係数 (diffusion coefficient)といい、次元は[L2T-1]
  • c濃度で、次元は[ML-3]
  • x は位置で、次元は[L]

導出編集

 

任意の位置x における拡散流束J は濃度勾配に比例する

1次元で説明する。区間  の間にある粒子数を  とおく。粒子はそれぞれ独立に運動していて、時間  後に左か右に確率  で距離  移動すると仮定する。区間  を右に通過する粒子数は

 

となるから、流束  は微小な  に対して

 

となる。濃度  で書き換えると

 

ここで、

 

である。  を定数としていることは、平均自由時間  よりも長時間の時間スケールで運動を見ているということ(粗視化)を意味する。

フィックの第2法則編集

第2法則は、非定常状態拡散、すなわち、拡散における濃度が時間に関して変わる時に使われる。実際の拡散の状態は、非定常状態がほとんどである。拡散係数D が定数のとき、濃度c の時間変化は次の拡散方程式で表される:

 

これは広義の連続の式と等価である。あるいは1次元なら、

 

記号は第1法則と同様である。

導出編集

 
フィックの第2法則導出模式図
位置と濃度の時間変化が、それぞれdx とdc である

第2法則は、第1法則から導く。第1法則で導いたのと同じように、単位面積の断面を持つパイプ状の物体を想定する。xx + dx にはさまれたdx の部分の濃度の時間的変化 ∂c/∂t を考え、任意の位置x での濃度をcx + dx での濃度をc + dc とする。 この時、x + dx の境界を通して注目している領域に流れ込む溶質の量はJ(x + dx)、この領域からx の境界を通して流れ出る溶質の量はJ(x) である。これより、

    ・・・(1)

ここで第1法則より

 
 

であるから、これらを式(1)に代入してフィックの第2法則が導き出される。

  • D が定数の場合は、
 
となり、比較的容易に解くことができる。初期条件および境界条件によって、いくつかの解がある。
  • D が定数でない場合は、
 
となる。D の関数形にもよるが、解くのは困難になる。

一般の場合編集

上記では拡散係数D等方的な定数であるとしたが、より一般には、方向に依存し、濃度勾配と流束が平行であるとは限らない。この場合、D は2階のテンソル量となる[1]

拡散係数編集

具体的な物質における拡散係数の例[2][3]
物質1 物質2 拡散係数(m2/s) 備考
O2 N2 1.74×10−5 0°C
CO2 1.70×10−9 20°C
水銀 Cd 1.53×10−9 20°C
エタノール 1.13×10−9 27°C、1気圧、x C2H6O = 0.05
エタノール 0.90×10−9 27°C、1気圧、x C2H6O = 0.5
エタノール 2.20×10−9 27°C、1気圧、x C2H6O = 0.95
ショ糖 5.22×10−10 27°C、1気圧
金属 10-12 融点直下、[4]

アインシュタイン・ストークスの式編集

ガス分子などの分子拡散の場合、拡散現象はブラウン運動による説明ができ、拡散係数D は次式で与えられる[5]。この式をアインシュタイン・ストークスの式(Stokes-Einstein equation)という[3]

 

金属編集

金属などでは、拡散係数D の温度依存性は次のように表される[4]

 

ここでD0 は振動数因子、Q は拡散の活性化エネルギーと呼ばれる。R気体定数である。

無次元数編集

流体力学でよく用いられる無次元量のなかで、物質の拡散に関係するものには以下がある:

参考文献編集

  1. ^ a b 小岩昌宏; 中嶋英雄 『材料における拡散』 内田老鶴圃、2009年、1頁。ISBN 978-4-7536-5637-0 
  2. ^ 谷口尚司; 八木順一郎 『材料工学のための移動現象論』 東北大学出版会、2001年、9頁。ISBN 4-925085-44-1 
  3. ^ a b 林茂雄 『移動現象論入門』 東洋書店、2007年、262, 280頁。ISBN 978-4-88595-691-1 
  4. ^ a b 駒井謙治郎編 『機械材料学』 (9版) 日本材料学会、1999年、51頁。 
  5. ^ 高橋幹二、日本エアロゾル学会編、 『エアロゾル学の基礎』 森北出版、2003年、46頁。ISBN 4-627-67251-9 

関連項目編集