フィボナッチ数列の逆数和

数学において、フィボナッチ数列の逆数和(フィボナッチすうれつのぎゃくすうわ、: reciprocal Fibonacci constant)、またはψは、フィボナッチ数列逆数総和として定義される数学定数である。

この和の連続した項のは、黄金比逆数に近づく。従って、ダランベールの収束判定法により、この和は収束する。

ψの値は、おおよそで以下のようになると知られている。

オンライン整数列大辞典の数列 A079586

ビル・ゴスパー英語版は、この値の高速な数値近似のためのアルゴリズムを得た。フィボナッチ数列の逆数和自身はk個の項に対しO(k)桁の精度であるが、ゴスパーのSeries accelerationではk個の項に対しO(k2)桁の精度である[1]

ψは無理数であると知られている。これはポール・エルデシュロナルド・グラハムLeonard Carlitzなどにより予想され、1989年、Richard André-Jeanninによって証明された[2]

連分数展開は、

オンライン整数列大辞典の数列 A079587

のようになる。

脚注編集

  1. ^ Gosper, William R. (1974), Acceleration of Series, Artificial Intelligence Memo #304, Artificial Intelligence Laboratory, Massachusetts Institute of Technology, p. 66, http://dspace.mit.edu/handle/1721.1/6088 
  2. ^ André-Jeannin, Richard (1989), “Irrationalité de la somme des inverses de certaines suites récurrentes”, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 308 (19): 539–541, MR0999451 

関連項目編集

外部リンク編集