フラッティーニ部分群

数学において、 Gフラッティーニ部分群 (: Frattini subgroup) Φ(G) とは G のすべての極大部分群英語版共通部分である。ただし、群 G が極大部分群をもたない場合には、Φ(G) = G によって定義される。

二面体群 Dih4英語版部分群の束英語版ハッセ図式

3 つの要素からなる層が極大部分群である。
それらの共通部分(フラッティーニ部分群)は 5 つの要素からなる層の真ん中の要素である。
よって Dih4e の他に非生成元を 1 つしかもたない。
Giovanni Frattini (1852 – 1925)

フラッティーニ部分群は環論ジャコブソン根基と類似しており[1]、直感的には「小さい元」からなる部分群と考えることができる(下記の「非生成元」による特徴づけを見よ)。Giovanni Frattini英語版 にちなんで名づけられている。彼はその概念を1885年に出版された論文で定義した[2]

事実編集

  • G のフラッティーニ部分群 Φ(G) は G のすべての非生成元 (non-generators, non-generating elements) の集合に等しい[3]。ここで G の非生成元とは常に生成集合から取り除くことができる元である。つまり X ∪ {c} が G の生成集合であるときには、X もまた G の生成集合であるような G の元 c を指す。
  • Φ(G) は G特性部分群である。とくに、それは G正規部分群である。
  • 有限群 G の正規部分群 N冪零である必要十分条件は N ′ ⊆ Φ(G) が成り立つことである[4]。特にフラッティーニ部分群 Φ(G) は冪零であり、またフィッティング部分群 F(G) との間に F(G)′ ⊆ Φ(G) ⊆ F(G) という関係が成り立つ。
  • G が有限 p-群であれば、Φ(G) = G ′ Gp である[5]。したがって、フラッティーニ部分群は商群 G/N基本アーベル群、すなわち位数 p巡回群直和同型であるような包含に関する最小の正規部分群 N である[6]。さらに、商群 G/Φ(G) (Gフラッティーニ商 (Frattini quotient) とも呼ばれる)が位数 pk をもてば、kG の生成元の最小の個数である(つまり G の生成集合の最小の濃度である)。とくに有限 p-群が巡回群であることとそのフラッティーニ商が(位数 p の)巡回群であることは同値である。有限 p-群が初等アーベルであることとそのフラッティーニ部分群が自明群、Φ(G) = {e} であることは同値である。
  • G = H × K有限生成群であれば、Φ(G) = Φ(H) × Φ(K) である[7]

編集

脚注編集

  1. ^ Cohn 2003, p. 48.
  2. ^ Frattini 1885
  3. ^ Cohn 2003, Proposition 2.6.1.
  4. ^ Cohn 2003, Proposition 2.6.5 (Wielandt).
  5. ^ Cohn 2003, Exercise 6.
  6. ^ Aschbacher 2000, 23.2.
  7. ^ Dixon 1973, 8.22.

参考文献編集

  • Aschbacher, M. (2000), Finite Group Theory, Cambridge studies in advanced mathematics, 10 (Second ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78675-1, https://books.google.com/books?id=BprbtnlI6HEC&pg=PA105 
  • Cohn, P. M. (2003), Basic Algebra: Groups, Rings, and Fields, Springer, ISBN 1-85233-587-4, https://books.google.com/books?id=VESm0MJOiDQC&pg=PA46 
  • Dixon, J. D. (1973), Problems in Group Theory, Dover, ISBN 0-486-45916-0, https://books.google.com/books?id=uoa1yO_Z_CIC&pg=PA50 
  • Frattini, G. (1885), “Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni” (イタリア語), Rom. Acc. L. Rend. ((4) I.): 281–285, 455–457 

関連項目編集

外部リンク編集