ブラ-ケット記法

ブラケット記法から転送)

ブラ-ケット記法(ブラ-ケットきほう、: bra-ket notation)は、量子力学における量子状態を記述するための標準的な記法である。

この名称は、2つの状態の内積ブラケットを用いて φ|ψ のように表され、この左半分 φ|ブラベクトル、右半分 |ψケットベクトルと呼ぶことによる。この記法はポール・ディラックが発明した[1]ため、ディラックの記法とも呼ぶ。

ブラの随伴はケット、ケットの随伴はブラである。

また、ある状態 において、可観測量 の期待値 は演算子をブラとケットで挟んだものである。

初学者向けの説明として、ケットは列ベクトル、ブラは行ベクトルに対応させる場合がある(行列表示を参照)。

この記法の利点として

  • 基底に依存しない記述が可能
  • 固有値が離散、連続どちらの場合も統一的に扱える
  • 中身の書き方を自由に工夫して記述できる(パラメータだけを並べて |n, l, m としたり、|生きている猫 と書くこともできる)

などがある[2][3]

この記法は量子力学で多用される内積記法である。ディラックの説明によればケット |ψ の空間においてブラ φ|線形汎関数を表す、すなわちブラは双対空間に属しており、無限次元の場合ブラの空間はケットの空間より広い場合がある。しかし、ブラの空間にはケットの空間と同型の部分空間が必ず存在し、ケットの内積は常に定義できる。量子力学においては、ケットもブラも量子状態を過不足なく表すもので、ケットに対応しないブラには物理的意味がないので、ブラの空間としてはケットの空間と同型のものしか考えない。

正規直交基底とブラケット記法編集

正規直交基底のうち2つのラベルを α, β として、内積をブラ-ケット記法で表すと、離散基底ではクロネッカーのデルタを用いて

 

連続基底ではデルタ関数を用いて

 

となる。

また正規直交基底の完全性は離散基底、連続基底でそれぞれ

 

と表現される。ただし連続基底の場合の第2式は数学的に問題があると指摘されている[4]量子力学の数学的定式化#スペクトル分解と観測も参照)。

第二量子化とブラケット記法編集

第二量子化された粒子生成演算子 a を用いて2粒子状態を

 

と定義する。この時 aフェルミ粒子を表す演算子なら、これらは反交換関係 {a 
α
 
, a 
β
 
} = 0
を満たすので、

 

となり、反対称化されている。

また aボース粒子を表す演算子であれば、これらは交換関係 [a 
α
 
, a 
β
 
] = 0
を満たすので、

 

となり、対称化されている。

波動関数との関係編集

ケット |ψ と、(位置表示の)波動関数 ψ(x) の関係は以下のように表される[5]

 

ただし、位置を表す演算子   の固有値を x 、対応する固有ケットを |x とする; 

脚注編集

[脚注の使い方]
  1. ^ P. Dirac、朝永振一郎 他訳 『量子力学 原著第4版』 岩波書店、1968年。 
  2. ^ 北野正雄、誤解されているブラケット―共役演算子をめぐって https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/173934/1/Butsuri_68(4)_239.pdf
  3. ^ 北野正雄 ブラケット記法の機微―双対構造と内積構造 http://www.sceng.kochi-tech.ac.jp/koban/quatuo/lib/exe/fetch.php?media=2012:kitano2.pdf
  4. ^ 原隆、数学者のための量子力学入門、https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/09/QM_structure2.pdf
  5. ^ 北野正雄 『量子力学の基礎』 共立出版、2010年、95-96頁。ISBN 978-4-320-03462-4 

関連項目編集