ヘンダーソン・ハッセルバルヒの式

ヘンダーソン・ハッセルバルヒの式 (Henderson–Hasselbalch equation) は水素イオン濃度 (pH) と酸性度 (pK_a) を結びつける等式で、生化学的または化学的な系において用いられる。この式は緩衝液の pH を見積ったり、酸塩基反応の化学平衡状態を調べるのに用いられる。たとえば、タンパク質の等電点を計算するのに用いられる。

定義

ヘンダーソン・ハッセルバルヒの式は以下の通りである。

{\textrm {pH}}={\textrm {p}}K_{\mathrm {a} }+\log {\frac {[{\textrm {A}}^{-}]}{[{\textrm {HA}}]}}

ここで、 ${\textrm {p}}K_{\mathrm {a} }$ は $-\log K_{\mathrm {a} }$ であり、 $K_{\mathrm {a} }$ は酸解離定数である。次のような一般的なブレンステッドの酸塩基反応

{\mbox{HA}}+{\mbox{H}}_{2}{\mbox{O}}\rightleftharpoons {\mbox{H}}_{3}{\mbox{O}}^{+}+{\mbox{A}}^{-}

においては、

\mathrm {p} K_{\mathrm {a} }=-\log K_{\mathrm {a} }=-\log {\frac {[\mathrm {H_{3}O} ^{+}][\mathrm {A^{-}} ]}{[\mathrm {HA} ]~\mathrm {mol~L^{-1}} }}

${\mbox{A}}^{-}$ は酸 HA の共役塩基を表す。[塩基] や [酸] のように括弧がついた量はモル濃度を表す。

上記の等式のアナロジーで、次の等式も成り立つことが分かる。

{\textrm {pOH}}={\textrm {p}}K_{\mathrm {b} }+\log {\frac {[{\textrm {BH}}^{+}]}{[{\textrm {B}}]}}

{\textrm {pH}}={\textrm {p}}K_{\mathrm {a} }+\log {\frac {[{\textrm {B}}]}{[{\textrm {BH}}^{+}]}}

上記の式で、 ${\textrm {p}}K_{\mathrm {b} }$ は $-\log K_{\mathrm {b} }$ であり、 $K_{\mathrm {b} }$ は塩基解離定数である。また、BH⁺ は塩基 B の共役酸である。

導出

ヘンダーソン・ハッセルバルヒの式は酸解離定数の式から次のように導き出される。

{\begin{aligned}K_{\mathrm {a} }&={\frac {a_{\mathrm {H} ^{+}}a_{\mathrm {A} ^{-}}}{a_{\mathrm {HA} }}}\\\log K_{\mathrm {a} }&=\log a_{{\textrm {H}}^{+}}+\log {\frac {a_{\mathrm {A} ^{-}}}{a_{\mathrm {HA} }}}\\-\mathrm {p} K_{\mathrm {a} }&=-\mathrm {pH} +\log {\frac {a_{\mathrm {A} ^{-}}}{a_{\mathrm {HA} }}}\\\mathrm {pH} &=\mathrm {p} K_{\mathrm {a} }+\log {\frac {[\mathrm {A} ^{-}]}{[\mathrm {HA} ]}}\end{aligned}}

ここでは活量 $a_{\mathrm {A} ^{-}}$ 、 $a_{\mathrm {HA} }$ の近似に濃度 $[\mathrm {A} ^{-}]$ 、 $[\mathrm {HA} ]$ を用いているが、モル分率 $n_{\mathrm {A} ^{-}}$ 、 $n_{\mathrm {HA} }$ などを用いる場合もある。