ベータ関数

第一種オイラー積分とも呼ばれる特殊関数

数学において、ベータ関数(ベータかんすう、: beta function)とは、ルシャンドルの定義に従って第一種オイラー積分とも呼ばれる特殊関数である。

定義編集

 を満たす複素数 x, y に対して、

 

と定義される関数をベータ関数と呼ぶ。

性質編集

対称性

ベータ関数は次のような対称性を持つ。

 


関数等式

ベータ関数は次の関係式を満たす。

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積分表示

変数変換を行うことで、以下の形にも表示できる。いずれも定義域は である。

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ポッホハマーの表示

 リーマン面上の積分路として、実軸上の (0,1) 内の点から出発し、1を正の向きに、0を正の向きに、1を負の向きに、0を負の向きの順で回って、元の点に戻るポッホハマーの積分路英語版を取れば、次のポッホハマーの表示が成り立つ。

 


ガンマ関数との関係

ベータ関数は、次のようにガンマ関数と結び付く。

 


級数表示

 

但し、 下降階乗冪

 

である。


特殊値

x = y = 1/2 のとき、以下が成り立つ。

 

正の整数 l, m に対して、以下が成り立つ。

 

参考文献編集

  • E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927.

関連項目編集

外部リンク編集