ベータ関数

第一種オイラー積分とも呼ばれる特殊関数

数学におけるベータ関数(ベータかんすう、: beta function)は、特殊関数の1つ。第一種オイラー積分とも呼ばれる。

定義編集

 を満たす複素数 x, y に対して、ベータ関数を次式で定義する。

 

性質編集

対称性

ベータ関数は次のような対称性を持つ。

 


関数等式

ベータ関数は次の関係式を満たす。

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積分表示

変数変換を行うことで、以下の形にも表示できる。いずれも定義域は である。

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ポッホハマーの表示

 リーマン面上の積分路として、実軸上の (0,1) 内の点から出発し、1を正の向きに、0を正の向きに、1を負の向きに、0を負の向きの順で回って、元の点に戻るポッホハマーの積分路英語版を取れば、次のポッホハマーの表示が成り立つ。

 


ガンマ関数との関係

ベータ関数は、次のようにガンマ関数と結び付く。

 


級数表示

 

但し、 下降階乗冪

 

である。


無限乗積表示

 


評価

スターリングの公式より、x, y の実部が十分大きな正の値であるとき

 

一方、 x が十分大きくy が固定されているとき

 


特殊値

複素数 x に対して、以下が成り立つ。

 

 

 

特に  

非負の整数 l, m に対して、以下が成り立つ。

 

 

 

参考文献編集

  • E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927.

関連項目編集

外部リンク編集

  • ベータ関数の積分公式』 - 高校数学の美しい物語
  • ベータ関数』 - コトバンク
  • ベータ関数とは? ~ 性質と公式 ~ - 数理アラカルト
  • ベータ関数とは~定義と性質8つとその証明~ - 数学の景色
  • ガンマ関数とベータ関数の関係式とその証明 - 数学の景色
  • Weisstein, Eric W. "Beta Function". MathWorld (英語).