ポッホハマー記号

解析学におけるポッホハマー記号(ポッホハマーきごう、: Pochhammer symbol)はレオ・オーギュスト・ポッホハマー英語版の名に因む特殊函数[* 1]で、組合せ論および超幾何級数論にも応用を持つ。

記法について編集

同じ函数を表す記号だが、表記にはいくつかバリエーションがある。

  •  : 組合せ論で使用
  •  : 解析学、特殊函数論で使用
  •  : (その他の記法)

特殊函数論では (x)n昇冪[* 2]

 

を表すのに用いるが、組合せ論では (x)n を降冪[* 3]

 .

として用いる。混乱を避けるため、昇冪を (x)n, 降冪を (x)n でそれぞれ表すこともよく行われる[* 4]。さらに Graham, Knuth & Patashnik (1988) は全く別の冪乗に似た記号を用いる。

差分学における降冪は微分学におけるの類似対応物である。

特殊函数としての定義編集

特殊函数論におけるポッホハマー記号は一般には(x は実または複素変数として)ガンマ函数を用いて

 

と定義される。すると x = m および n が自然数のとき、

 

が成り立つ。

性質編集

 
n に対するポッホハマー記号 (x, n) のグラフ
  • ポッホハマー記号 (x, n)複素変数 x に関して有理型函数である。
  • 任意の自然数 nN に対して (x, n)x の多項式であり、x = 0 を共通根に持つ。
  • 変数 x の符号を反転するとき
     
  • 径数 n の符号を反転するとき、以下の関係式が成り立つ:
     
  •  
  • 商の法則:
     
  • 特殊値:
     
     
  • 二項係数との間に以下の関係がある:
     

応用編集

ポッホハマー記号は函数の冪級数展開を表すのに用いられる。いくつか例を挙げれば、

  1. ニュートンの一般二項定理:
     
  2. 超幾何函数:
     

一般化編集

q-類似編集

ポッホハマー記号の q-類似 q-ポッホハマー記号がある。これは

 

で定義される。

多重ポッホハマー記号編集

多重指数に対するポッホハマー記号を以下のように定めることができる:

 

注釈編集

  1. ^ ポッホハマー自身は (x)n二項係数に用い、降冪は [x]n、昇冪は [x]+
    n
    で表した。(Pochhammer 1888, pp. 80–81)
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Rising Power". MathWorld (英語).
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Falling Power". MathWorld (英語).
  4. ^ それほど一般的ではないが昇冪を (x)+n と書くこともある。このとき混乱を避けるため、降冪は (x)n と書いて区別するのが典型的である。(Knuth 1992, p. 414)

参考文献編集

外部リンク編集