ヤコビの三重積

カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビが1829年の著書で示した恒等式

ヤコビの三重積 (Jacobi triple product)とは、次の恒等式をいう。

但し、とする。この恒等式はヤコビによるテータ関数の研究から生まれたものであるが、 と置くことにより

或いは、と置くことにより

となり、数論にも適する形になる。カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビが1829年の著書 Jacobi (1829)で示した。

証明編集

直接の証明編集

左辺を 、右辺を と置き、まず、右辺が疑二重周期を持つことを示す。

 
 

 により であるから、右辺の零点は

 
 
 

に限られる。一方、左辺は

 
 
 

であるから、右辺と同じ準二重周期を持ち、少なくとも右辺が零点を持つところに悉く零点を持つ。従って、リウヴィルの定理により、

 

 に依存しない。

 
 

分子の級数においてnが奇数の項は正負で打ち消しあうから2nをnに置き換える。

 

  に依存しないから

 

であり、  にも依存しない定数である。 として を得る。結局、両辺は等しい。

ラマヌジャンの和公式による証明編集

ヤコビの三重積はラマヌジャンの和公式の特殊な場合である。ラマヌジャンの和公式

 

q二項定理から導かれる。ラマヌジャンの和公式に を代入すると

 

となり、  と書き、  と書けば

 

となる。qポッホハマー記号の変換式

 

により、左辺は

 

であるから、 の極限を取れば

 

となり、qポッホハマー記号を展開して

 

を得る。

ヤコビの原証明編集

Jacobi (1829)の原証明は冪級数の操作のみを用いている。まず

 

とおく。ヤコビの三重積は   であらわされる。

まず   について、

 

より

 

が成り立つ。そこで

 

とおくと

 

より

 

つまり

 

が成り立つ。この漸化式を解くと

 

が得られる。

次に   について、

 

が成り立つ。そこで

 

とおくと

 

であるが

 

より

 

つまり

 

が成り立つ。この漸化式を解くと

 

が得られる。

さて、ヤコビの三重積の冪級数展開を得たいが、代わりに   の冪級数展開について考える。

 

より   を冪級数展開したときの   および   の係数は共に

 

に一致するが、これは、上記の   の展開より

 

に一致する。よって

 

が成り立つ。


関連項目編集

参考文献編集

  • Jacobi, C. G. J. (1829) (Latin), Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, Königsberg: Borntraeger, ISBN 978-1-108-05200-9, Reprinted by Cambridge University Press 2012, https://archive.org/details/fundamentanovat00jacogoog 
  • Andrews, G. E. (1965), A simple proof of Jacobi's triple product identity, American Mathematical Society, https://www.ams.org/journals/proc/1965-016-02/S0002-9939-1965-0171725-X/ 
  • Carlitz, L (1962), A note on the Jacobi theta formula, American Mathematical Society, https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183524930 
  • Wright, E. M. (1965), An Enumerative Proof of An Identity of Jacobi, London Mathematical Society, https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/jlms/s1-40.1.55