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ヤコビの二平方定理(Jacobi's two square theorem)は、自然数を高々二個の平方数の和で表す方法の数を与える定理[1]。名称はドイツの数学者ヤコビに由来する。

自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は

で与えられる。但し、シグマ記号は2で整除されないNの約数(1とNを含む)について和を取ることを表す。言い替えれば、自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は、Nの約数のうち、4を法にして1と合同になるものの個数から3と合同になるものの個数を引いたものの4倍に等しい。

具体例編集

例えば、

 

であるが、実際に25を高々二個の平方数の和で表す方法は

 

であり、符号と順序を区別すれば12個になる。

証明編集

テータ関数の比は楕円関数(二重周期を持つ有理型関数)になり、楕円関数の導関数も楕円関数になるから、

 

  は共に楕円関数である。且つ、

 

であるから、 となるところにおいて悉く となり、リウヴィルの定理によって は定数である。 として

 

により、 を得る。従って、

 

である。右辺のテータ関数を無限乗積に展開し、 を代入し、 と書くと

 

となり、ヤコビの三重積の公式により

 

となる。一方、

 

であるから

 

であり、テータ関数の対数微分の公式により

 

である。以上により、

 

が得られ、 の係数を比較することにより、

 

が得られる。

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出典編集

  1. ^ Hardy & Write, 1938, An Introduction to the Theory of Numbers