数学において、種数 g の非特異代数曲線 Cヤコビ多様体 (Jacobian variety) J(C) とは、次数が 0 の直線束モジュライ空間を言う。ヤコビ多様体は、Cピカール群の単位元の連結成分であり、従って、アーベル多様体である。

はじめに編集

ヤコビ多様体の名称は、アーベル・ヤコビの定理を完全に証明しニールス・アーベル(Niels Abel)の単射性のステートメントを同型写像にしたカール・グスタフ・ヤコビ(Carl Gustav Jacobi)の名前にちなんでいる。ヤコビ多様体は、次元 g の主偏極アーベル多様体であり、従って、複素数体上では複素トーラス英語版(complex torus)である。p が C 上の点であれば、C は J の単位元へ写像される与えられた点 p を持つ J の部分多様体へ写像することができ、C は J をとして生成する。

複素曲線の構成編集

複素数体上では、ヤコビ多様体は、商空間 V/L として実現される。ここに V は、C 上の全大域的正則微分形式のベクトル空間の双対であり、L は、γ を C の中の閉じた経路(path)としたときの微分形式

 

のすべての元で構成される格子である。言い換えると、上の写像を通して    へ埋め込んで

 

である。

任意の体上の曲線のヤコビ多様体は、Weil (1948)により、有限体上の曲線のリーマン予想の証明の一部として構成された。

アーベル・ヤコビの定理は、トーラスはこのように多様体であるが、曲線の古典的ヤコビ多様体で、次数 0 のラインバンドルをパラメトライズする、つまり、線型同値を同一視した次数 0 の因子のピカール多様体と同一視することができる。

発展した話題編集

トレリの定理英語版(Torelli's theorem)は、複素曲線が(偏極をもった)ヤコビ多様体により決定することを言っている。

ショットキー問題英語版(Schottky problem)は、どのような偏極を持つアーベル多様体が曲線のヤコビ多様体であるかを問うている。

ピカール多様体アルバネーゼ多様体や、中間ヤコビ多様体英語版(intermediate Jacobian)は、高次元の多様体へのヤコビ多様体の一般化である。高次元の多様体に対し、正則 1-形式の空間の商空間としてのヤコビ多様体の構成はアルバネーゼ多様体として一般化できる。しかし、高次元ではピカール多様体と同型になるとは限らない。

参考文献編集

  • P. Griffiths; J. Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. pp. 333–363. ISBN 0-471-05059-8 
  • J.S. Milne (1986). “Jacobian Varieties”. Arithmetic Geometry. New York: Springer-Verlag. pp. 167–212. ISBN 0-387-96311-1 
  • Mumford, David (1975). Curves and their Jacobians. The University of Michigan Press, Ann Arbor, Mich.. MR0419430 
  • Shokurov, V.V. (2001), “Jacobi variety”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/J/j054140.htm 
  • Weil, André (1948). Variétés abéliennes et courbes algébriques. Paris: Hermann. OCLC 826112. MR0029522 
  • Hartshorne, Robin. Algebraic Geometry. New York: Springer. ISBN 0-387-90244-9 
  • Montserrat Teixidor i Bigas On the number of parameters for curves whose Jacobians possess non-trivial endomorphisms.;[1] Theta Divisors for vector bundles in Curves, Jacobians, and Abelian Varieties[2]