ヤコビ恒等式

数学におけるヤコビ恒等式(Jacobi identity)とは、二項演算に対して考えられる性質の一つ。名前はドイツの数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに由来する。

目次

定義編集

集合   に二項演算  可換かつ単位元   を持つ二項演算   が定義され、この  について、

 

が成立するとき、  はヤコビ恒等式を満たすという。

  •    によって加法群の構造を持ち、ねじれ元を持たないとき、  の元は   に関して冪零である。実際上記の恒等式で a = b = c とおけばよい。

式の解釈編集

   によって加法群の構造を持つとしよう。このときヤコビ恒等式は

 

という形で書くことができる。左辺を x に対する b * c の随伴作用と解釈すると、右辺はそれを b の作用と c の作用で逐次的に行って実現するものと解釈することができる。

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三次元ベクトルにおける外積

三次元のベクトル空間における外積(クロス積)はヤコビ恒等式を満たす。

 
リー環

リー環における積演算である括弧積はヤコビ恒等式を満たす。

 

括弧積を随伴作用と考えれば、環上の微分におけるライプニッツ則として捉えることができる。すなわち、

 

と表せば、上述のヤコビ恒等式は

 

であり、ライプニッツ則として解釈できる。

ポアソン括弧

解析力学におけるポアソン括弧はヤコビ恒等式を満たす。

 
交換関係

量子力学における交換子はヤコビ恒等式を満たす。

 

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