ヴィット代数
数学において、複素ヴィット環（ヴィット-かん、英: Witt algebra; ヴィット代数）とは、二定点を除くリーマン球面の全域で正則な有理型ベクトル場全体の成すリー環である。名称はエルンスト・ヴィットに因む。このリー環は円周上の多項式ベクトル場全体の成すリー環の複素化でもあり、環 C[z, z−1] の微分（あるいは導分）全体の成すリー環でもある。ヴィット環は共形場理論の研究において現れる。
有限体上で定義されるいくつかの同様なリー環もやはりヴィット環と呼ばれる。
複素ヴィット環はエリ・カルタンによって初めて定義され(Cartan 1909)、その有限体上の類似物はヴィットによって1930年代に研究された。
基底 編集
ヴィット環を円周上のベクトル場のリー環として考えたとき、その基底は整数 n に対して
によって与えられる。
2つのベクトル場の括弧積は、基底における積
![{\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9afc439bf146a4940309cba9ef58dc50eaff07c)
を線型に拡張したもので与えられる。ヴィット環はヴィラソロ代数と呼ばれる中心拡大を持つ。ヴィラソロ代数は共形場理論や弦理論において重要である。
有限体上のヴィット環 編集
標数 p > 0 の体 k 上のヴィット環は環
![{\displaystyle k[z]/(z^{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81de82e103f92a840174d4dfb42d1cc446cb4844)
上の微分全体の成すリー環として定義される。ヴィット環は Lm (−1 ≤ m ≤ p − 2) によって張られる。
参考文献 編集
- E. Cartan, Les groupes de transformations continus, infinis, simples. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 26, 93-161 (1909).
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Witt algebra”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4