ヴェブレン階層

ヴェブレン階層（ヴェブレンかいそう）とは、ヴェブレン関数の値からなる超限次元の行列であり、フェファーマン・シュッテの順序数 (Γ₀) より小さい順序数を表現する一般的な方法である。任意の Γ₀ より小さい順序数は、0 と和とヴェブレン関数の組み合わせによって、有限に記述される。オズワルド・ヴェブレンが1908年の論文にて紹介した^[1]。

ヴェブレン階層とヴェブレン関数編集

ヴェブレン関数 φ は、可算な順序数の上に定義される二変数関数で、最小の非可算な順序数を Ω で表すとき、ヴェブレン関数の値からなる Ω × Ω の超限次元の行列を特にヴェブレン階層と呼ぶ。ヴェブレン階層の α 行目、β 列目の値を φ_α(β) と書く。ここでは、概略的な説明にとどめる。

まず、ヴェブレン階層の 0 行目に additive principal な順序数を小さいものから順番に置く。（すなわち、 φ₀(α) = ω^α）次に、1 行目には、 φ₀(α) = α をみたすような α を小さいものから順番に置く。これらの順序数 φ₁(α) を、特に ε_α と書く。例えば、 ε₀ は、 $\omega ^{\alpha }=\alpha$ となる最小の順序数 $\alpha$ で、直感的には $\omega ^{\omega ^{\omega ^{\dots }}}$ の値である。ただし、ε₀^ω = ε₀ ではないことに注意せねばならない。従来の羃の表記よりは、右上から左下にかけて小さく書かれている方が、意味的には正しい。 ε₁ は、ε₀ より大きく ω^α = α であるような最小の数 α で、 $\varepsilon _{0}+1,\ \omega ^{\varepsilon _{0}+1},\ \omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}$ の極限として与えられる。一般に、後続順序数 α + 1 に対して、ヴェブレン階層の α+1 列目は φ_α(β) = β となるような β が順番に置かれ、極限順序数 λ に対しては、それより上のすべての行に現れる順序数が順番に置かれる。