一般化タクシー数(いっぱんかタクシーすう、generalized taxicab number)Taxicab(k, j, n) とは、k 乗数の和 j 個で n 通りに表される最小の正の整数と定義される。k = 3 かつ j = 2 である場合は n 番目のタクシー数 Ta(n) となる。例えば

である。最後の例がシュリニヴァーサ・ラマヌジャンのタクシー数である。レオンハルト・オイラーによって以下のことが示されている。

しかし任意の整数 k ≥ 5 に対して、Taxicab(k, 2, 2) は知られていない。すなわち、2個の k (≥ 5) 乗数の和として2通りに表される正の整数は今のところ知られていない[1]。2つの4乗数の和として3通りにあらわされる数が存在するかどうかも知られていない。Zajtaは4乗数のとして3通りの方法であらわせる例

を発見した(Zajta 1983)。

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k j Taxicab(k, j,1) Taxicab(k, j,2) Taxicab(k, j,3) Taxicab(k, j,4) OEIS
2 2 2 50 325 1105 A016032
2 3 3 27 54 129 A025414
2 4 4 31 28 52 A025416
3 2 2 1729 87539319 6963472309248 A011541
3 3 3 251 5104 13896 A025418
3 4 4 219 1225 1979 A025420
4 2 2 635318657 A230562
4 3 3 2673
Taxicab(k,2,2)はA016078をTaxicab(k,3,2)はA230563を参照。

脚注編集

  1. ^ Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (third edition). New York, New York, USA: Springer-Science+Business Media, Inc.. pp. 437. ISBN 0-387-20860-7. http://books.google.com/books?id=1AP2CEGxTkgC&printsec=frontcover#v=onepage&q=&f=false. 

参考文献編集

関連項目編集